6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 同步复习讲义——2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高二数学同步复习讲义（人教A版(2019）) 09 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 知 识 链 接 知识链接01 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 基本形式 一般形式 完成一件事有n类不同方案， 完成一件事有两类不同方案， 在第1类方案中有m种不同的方法， 分类加 在第1类方案中有m种不同的方法， 在第2类方案中有m种不同的方法， 法计数 在第2类方案中有n种不同的方法， 原理 那么完成这件事共有 在第n类方案中有m。种不同的方法， N=m十n种不同的方法. 那么完成这件事共有 N=m十2十·十m,种不同的方法. 完成一件事需要n个步骤， 完成一件事需要两个步骤， 做第1步有m1种不同的方法， 分步乘 做第1步有m种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法， 法计数 做第2步有n种不同的方法， “, 原理 那么完成这件事共 做第n步有mn种不同的方法， 有N=m×n种不同的方法。 那么完成这件事共有 V=m×m2X…Xm:种不同的方法 注意：分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法种数。 它们的区别在于： 分类加法计数原理与分类有关，各方法相互独立，用其中的任何一种方法都可以完成这件事： 分步乘法计数原理与分步有关，各步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。 知识链接02 应用两个原理解题的一般思路 分类 将完成一件事的方法分咸若干类 将完成一件事的过程分咸若干步 、计数 求出每一类的方法数 计 求出每一步中的方法数 结论 将每一类的方法数相加得出结采 结论 将每一步中的方法数相乘得最终结果☐ 注意：①明白要完成的事情是什么： ②分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系： ③有无特殊条件的限制： ④检验是否有重复或遺漏 口典例剖析口 典例剖析01 分类加法计数原理 (1)书架的第1层放有10本不同的语文书，第2层放有12本不同的数学书，第 3层放有10本不同的英语书，从书架中任取一本书，则不同的取法有种. (2)满足a,b∈{一1,0,1,2}，且关于x的方程a2+2x十b=0有实数解的有序数 对(a,b)的个数为 (3)若椭圆x2m+y2n=1的焦点在y轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6.7}；， 则这样的椭圆的个数为· (4)如果一个三位正整数如a1a2a3”满足a1<a2且a2>a3,则称这样的三位数为凸数 (如120,343,275等，那么所有凸数的个数为 典例剖析02 分步乘法计数原理 (1)已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为一 (2)从集合0,1,2,3,4,5.6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a十bi,其中虚 数的个数是 (3)已知a∈1,2,3}，b∈{4,5,6,7}，则方程x-a2+0y-b)2=4可表示不同的圆的 个数为一· (4)有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不 属于同一学科的书2本，则不同的选法有 种 (5)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的 老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 (6)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项， 则共有种不同的报名方法。 (7)有六名同学报名参加三个智力项目，每人恰好参加一项，每项人数不限，则 共有种不同的报名方法. (8)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，但每人参加的项目不限， 则共有种不同的报名方法. (9)如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路， 其中有6个焊接点A,B,C,D,E,F,如果焊接点 脱落，整个电路就会不通.现发现电路不通，那么焊 接点脱落的可能情况共有 种 典例剖析03两个计数原理的综合应用之数字问题 (用数字作答) (1)用0,1,2,3,4,5.6这7个数字可以组成 个无重复数字的四位偶数， (2)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其 中奇数的个数为 (3)用数字1,2,3,4.5.67,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位 数，这样的四位数一共有 个 (4)如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4 四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有个 (5)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为 (6)数字0,12.3.4.5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 个. 典例剖析04 两个计数原理的综合应用之涂色（种植）问题 (1)现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有 公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂