专题03 不等式-学易金卷：2023年高考数学一模试题分项汇编（广东专用）

专题03 不等式 一、单选题 1．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知实数，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A选项中，因为，所以，故A选项正确； B选项中，因为函数在上单调递减且，所以，故B选项错误： C选项中，因为，则，故C选项错误； D选项中，若，，满足，但，故D选项错误． 故选：A． 2．（2023春·广东·高三统考开学考试）若正实数满足,且,则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为,为单调递增函数,故,由于,故,或， 当时,,则，此时； ,故; ,即,所以; 当时,,则,此时, ,故; ,即,所以; 故ABC均错误; 对于D选项,,两边取自然对数,, 因为不管,还是,均有, 所以, 故只需证即可. 设(且),则, 令(且), 则, 当时,,当时,,所以, 所以在且上恒成立, 故(且)单调递减, 因为,所以,结论得证,所以D正确. 故选:D. 3．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知实数，且，则的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解析】，等式恒成立，， 由于，所以，， ， 当且仅当时，即时取等号. ，，故的最小值为1. 故选：. 4．（2023·广东潮州·高三统考期末）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】正实数满足， 则， 当且仅当，即且时，等号成立，则时，取到最小值4， 要使不等式恒成立，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 5．（2023春·广东江门·高三江门市第一中学校考阶段练习）若，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：，，，，，，故A错误； 对于B：，，， ， 即， ，故B错误； 对于C：，，， ， ， ， ， ，故C错误； 对于D：， ， 即， 两边开平方得：， 同理可得，， 三式相加得， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：D. 6．（2023·广东·高三校联考期末）已知，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，所以， 则，又， 所以，，由不等式的性质得：， 则的取值范围为. 故选：D. 7．（2023·广东江门·高三江门市棠下中学校联考期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．13 B．14 C． D． 【答案】C 【解析】，， ， , 当且仅当时，即，而又,所以 ， 此时不等式可取等号. 所以的最小值为 故选：C. 8．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，且， 所以，当且仅当，即时等号成立， 故选：D． 9．（2023春·广东汕尾·高三汕尾市城区汕尾中学校考期末）若存在正实数y，使得，则实数x的最大值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【解析】， 因为，所以，所以， 当时，，解得， 当时，，解得， 故x的最大值为. 故选：A 二、多选题 10．（2023·广东茂名·统考一模）e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【解析】原式变形为， 构造函数，则， ∵， 当时，，则，即； 当时，，则，即； 故在上单调递减，在上单调递增， 对于A：取，则 ∵在上单调递增，故， 即满足题意，但，A错误； 对于B：若，则有： 当，即时，则，即； 当，即时，由在时单调递增，且， 故，则； 综上所述：， B正确； 对于C：若，则有： 当，即时，显然成立； 当，即时，令， ∵，当且仅当，即时等号成立， ∴当时，所以，即， 由可得，即 又∵由在时单调递增，且， ∴，即； 综上所述：，C正确； 对于D：取，，则， ∵在上单调递减，故， ∴故，满足题意，但，D错误. 故选：BC. 11．（2023·广东肇庆·统考二模）已知正数满足等式，则下列不等式中可能成立的有（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为，，， 所以， 所以， 构造 ， 所以， 当，即时， 分析即可， 所以在上单调递减， 所以，所以， 所以， 所以， 由， 所以， 构造，， 则， 所以在上单调递增， 所以由得， 所以， 故此时， D选项错误； 当时，，此时， 所以可能成立，故C选项可能正确， 由，即， 构造， 所以，设， 当时，，所以在单调递减，在上单调递增， 且，所以当时， 即， 所以， 构造， 则，所以在上单调递增， 所以，故A可能正确，B项错误； 故选：AC 12．（2023·广东汕头·统考一模）已知，则下列说法正确的