第一篇 专题六 第3讲 函数与导数热点问题 -【导与练】2023高考文科数学二轮复习教学课件PPT（老教材）

导巧球 第3讲 函数与导数热点问题 9 考查特点 关键能力 学科素养 考查利用导数证明不等式，根据不 等式恒成立求参数取值范围，利用 导数研究函数零点个数，根据函数 逻辑思维能力、 逻辑推理、数学建模、数 零点个数求解参数取值范围以及 运算求解能力、 证明函数零点的性质等.题型为解 数学建模能力 学运算 答题，属于难题或较难题 真题体验 1.[函数的零点问题](2022·全国乙卷)已知函数f(x)=ax-(a+1)1nx. 1 (1)当a=0时，求f(x)的最大值： 解：(1)当a=0时，f(x)=一-lnx(x>0), 1 所以f′(x)=一一-= 111x 若x∈(0,1)，子x(x0,f(x)单调递增； 若x∈(1，+∞)，f'(x)<0,f(x)单调递减， 所以f(x)mx=f(1)=-1. .[函数的零点问题](2022·全国乙卷)己知函数f(x)=ax一-(a+1)1nx. (2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围. 1 解：(2)由f(x)=ax--(a+1)1nx(x>0), 1 得f′ 6x0=at-x(--16x>0). 1 a+1 ax 1 x 1 当a=0时，由)可知，f(x不存在零点； 当a0时，f'()=二 a(x a)x 1 若x∈(0,1)，f′(x)>0,f(x)单调递增， 若x∈(1，+∞)，f′(x)<0,f(x)单调递减， 所以f(x)mx=f(1)=a-1<0, 1所以f(x)不存在零点；一 当a>0时，f'(x)= -(-) 1 若a=1,f'()≥0，法0，+∞)上单调递增， 因为f(1)=a-1=0, 所以函数f(x)恰有一个零点， 所以a=1满足条件， 若a>1,f(x)在(0，-)，(1，+∞)上单调递增， 在(，1)上单调递减， 因为f(1)=a-1>0, 所以f(-)>f(1)>0, 当x→0时，f(x)+-o∞， 由零点存在定理可知f(x)在(0，)上必有一个零点，所以a>1满足条件； 若0<a<1,f(x)在(0,1)，(，+∞)上单调递增，在(1，-)上单调递减， 1 1 因为f(1)=a-1<0,所以f《)<f(1)<0,当x→+o∞时，千(x)→+∞，由零点存在定理可知 f(x)在(，+∞)上必有一个零，点，即0<a<1满足条件. 1 综上，若d(x)恰有一个零点，a的取值范围为(0，+∞). 2.不等式恒成立、存在性问题](2021全国甲卷)设函数f(x)=a2x2+ax 31mx+1,其中a>0. (1)讨论f(x)的单调性； 解：（1)由题意，f(x)的定义域为(0，+∞)， f'(x)=2a'x+a-= -(-)() 22 3 2a x +ax 3 ax 1 2ax+3 则当x>时，f'x)>0,千(x)单调递增； 1 当0<x<-时，f'(x)<0,f(x)单调递减. 1 故函数F(x)在(0，)上单调递减，在(，+∞)上单调递增. d 2.不等式恒成立、存在性问题](2021，全国甲卷)设函数f(x)=a2x2+ax- 31mx+1,其中a>0. (2)若y=f(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围. 解：(2)由(1)知函数f(x)的最小值为f(一)， 1 要使y=f(x)的图象与x轴没有公共点，只需f(x)的最小值恒大于0，即f(-)>0恒 1 成立， }故a2·（)2+a·-31n-+1>0,得a>, 1 1 所以a的取值范围为(，+∞).