7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习课时作业word（人教B版2019）

7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 选题明细表 知识点、方法 题号 弧度制的概念 1 角度与弧度的互化 2,3,5 弧度制表示角的应用 6,9,11 扇形的弧长、面积问题 4,7,8,10,12 基础巩固 1.(多选题)下列说法正确的是(　ABC　) A.半圆所对的圆心角是π rad B.周角的大小等于2π C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是 1弧度 解析:根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A,B,C均正确,D中应为“长度等于半径长的圆弧,而不是弦”.故D错误,选ABC. 2.120°化成弧度制为(　C　) A. B. C. D. 解析:因为1°=, 所以120°=120×=.故选C. 3.等于(　D　) A.70° B.75° C.80° D.105° 解析:π=×180°=105°.故选D. 4.已知扇形的周长为12 cm,圆心角为4 rad,则此扇形的面积为(　C　) A.4 cm2 B.6 cm2 C.8 cm2 D.10 cm2 解析:设扇形的半径为r(cm), 则弧长为l=αr=4r, 周长为C=l+2r=4r+2r=6r=12 cm, 解得r=2 cm, 则此扇形的面积为S=lr=×4×2×2=8(cm2).故选C. 5.-135°化为弧度为　　　　,化为角度为　　　　.  解析:-135°=-135×=-, =×180°=660°. 答案:-π　660° 6.若2π<α<4π,且α与-角的终边垂直,则 α=　　　　　.  解析:α=--+2kπ=2kπ-,k∈Z, 因为2π<α<4π,所以k=2,α=; 或α=-π++2kπ=2kπ-,k∈Z, 因为2π<α<4π,所以k=2,α=. 综上,α=或. 答案:或 能力提升 7.如果一个圆的半径变为原来的一半,而弧长变为原来的,则该弧所对的圆心角是原来的(　D　) A. B.2倍 C. D.3倍 解析:设圆的半径为r,弧长为l,圆心角的弧度数为,将半径变为原来的一半,弧长变为原来的,则弧度数变为=3·,即弧度数变为原来的3倍.故选D. 8.圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长,则该圆弧所对圆心角的弧度数为(　C　) A. B. C. D.2 解析:设圆的半径为R,则圆的内接正三角形的边长为 R,所以圆弧长度为R的圆心角的弧度数α==.故选C. 9.若α是第三象限角,则π-是(　B　) A.第一或第二象限角 B.第一或第三象限角 C.第二或第三象限角 D.第二或第四象限角 解析:因为α为第三象限角, 所以有2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z, kπ+<<kπ+,k∈Z, -kπ-<-<-kπ-,k∈Z, 故-kπ+<π-<-kπ+,k∈Z, 当k为偶数时,π-在第一象限; 当k为奇数时,π-在第三象限.故选B. 10.一个半径为2的扇形,如果它的周长等于它所在的半圆的弧长,那么扇形的圆心角是　　　　弧度,扇形面积是　　　　　　. 解析:由题意知r=2,l+2r=πr, 所以l=(π-2)r, 所以圆心角α===(π-2)(rad),扇形面积S=lr=×(π-2)· r·r=2(π-2). 答案:π-2　2(π-2) 11.已知角α的终边与-的终边关于x轴对称,求角在(-π,π)内的值. 解:因为与-的终边关于x轴对称,且 =8π+,所以角α与的终边相同. 所以α=2kπ+(k∈Z),=+(k∈Z). 因为-π<<π,所以-π<+<π,k∈Z, 所以-<k<,k∈Z,所以k=-1或0或1. 当k=-1时,=-∈(-π,π); 当k=0时,=∈(-π,π); 当k=1时,=∈(-π,π); 所以在(-π,π)内的值有三个, 它们分别是-,和. 应用创新 12.将一条绳索绕在半径为40 cm的轮圈上,绳索的下端处悬挂着物体B,如果轮子按逆时针方向每分钟旋转6圈,现将物体B的位置向上提升 100 cm,那么需要多长时间才能完成? 解:如图,设将物体向上提升100 cm,需要的时间为t s. 当BB′=100 cm时,的长是100 cm, 所对的圆心角∠AOA′==(rad). 因为轮子每分钟匀速旋转6圈, 所以每秒匀速转过=(rad). 于是t s转过t rad, 所以t=, 得t=≈4(s). 学科网（北京）股份有限公司 $