7.3.3 余弦函数的性质与图像-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习课件PPT（人教B版2019）

7.3.3　余弦函数的性质与图像 数学 学习目标 1.了解余弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值,能利用性质解决一些简单的问题. 2.会利用诱导公式画出余弦函数的图像,理解正弦、余弦函数的图像,知道它们之间的关系. 3.能用五点法画出余弦函数的图像,并能利用其图像解决简单的问题. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 1.余弦函数与余弦曲线 因为对于任意一个角x,都有唯一确定的余弦 cos x与之对应,所以y=cos x是一个函数,一般称为余弦函数.函数y=cos x的图像称为余弦曲线. 左 数学 3.余弦函数的性质 函数 y=cos x 定义域 R 值域 . 最值 当x= 时,ymax=1; 当x= 时,ymin=-1 奇偶性 函数 周期性 最小正周期为 . 单调性 在 上递增, 在 上递减 零点 [-1,1] 2kπ(k∈Z) π+2kπ(k∈Z) 偶 2π [-π+2kπ,2kπ](k∈Z) [2kπ,π+2kπ](k∈Z) 数学 4.余弦函数的图像 函数 y=cos x 图像 图像画法 五点法 关键五点 (0,1), ,(π,-1), ,(2π,1) 对称轴 x= . 对称中心 . kπ(k∈Z) 数学 师生互动·合作探究 探究点一 余弦函数的图像及应用 [例1] (1)用五点法作出函数y=2+cos x,x∈[0,2π]的简图; 数学 数学 方法总结 数学 ③连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来,就得到余弦函数 y=Acos x+b(A≠0)的图像. 提醒:作图像时,函数自变量要用弧度制,x轴、y轴上尽量统一单位长度. (2)用三角函数图像解三角不等式的步骤: ①作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图像; ②写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集; ③根据公式写出定义域内的解集. 数学 [针对训练] (1)利用五点法作出函数y=-1-cos x(0≤x≤2π)的简图; ②描点、连线,如图所示. 数学 (2)根据函数图像解不等式sin x>cos x,x∈[0,2π]. 数学 数学 探究点二 余弦函数的图像变换 答案:(1)C 数学 数学 方法总结 余弦函数的图像变换与正弦型函数的变换方式相同,注意不同名时,先利用诱导公式转化为同名三角函数;自变量系数不为“1”时,提取系数后 观察自变量的变化值,进而确定平移的单位个数.总之,图像变换要遵循“法则对法则,位置对位置”的原则. 数学 数学 数学 数学 数学 探究点三 余弦函数的性质 数学 数学 数学 数学 方法总结 (1)求余弦函数的单调区间和最值时,要联系余弦函数的图像,同时注意 三角函数的周期性. 数学 数学 数学 数学 数学 学海拾贝 数学 思路点拨 与三角函数有关的零点问题常转化为图像交点问题解决;与三角函数有关的不等式问题常借助图像求解. 数学 [应用探究] 方程|x|=cos x在(-∞,+∞)内(　　) A.没有根 B.有且只有一个根 C.有且仅有两个根 D.有无穷多个根 解析:在同一坐标系内画出函数y=|x|与y=cos x的图像,易得两个图像在第一、第二象限各有一个交点,故原方程有两个根.故选C. 数学 当堂检测 D 数学 B 数学 B 数学 数学 点击进入 课时训练·分层突破 点击进入 周练卷 数学 2.余弦曲线与正弦曲线的关系 由于y=cos x=sin(x+),因此余弦曲线可由正弦曲线向 平移 个单位得到. x=+kπ(k∈Z) (,0) (,0) (+kπ,0)(k∈Z) 解:(1)列表. x 0 π 2π cos x 1 0 -1 0 1 2+cos x 3 2 1 2 3 描点、连线,如图所示. 解:(2)作出余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图像,如图所示,由图像可以得到满足条件的x的集合为[+2kπ,+2kπ],k∈Z. (2)利用余弦函数的图像解不等式cos x≤. (1)用五点法画函数y=Acos x+b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤: ①列表: x 0 π 2π cos x 1 0 -1 0 1 y A+b b -A+b b A+b ②描点:在平面直角坐标系中描出五个点(0,y1),(,y2),(π,y3),(,y4