7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习课件PPT（人教B版2019）

7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 数学 学习目标 1.了解弧度制. 2.能进行角度与弧度的互化. 3.掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 1.角的单位制 (1)角度制 把圆周等分成 份,其中每一份所对应的圆心角为 1度,这种用度作单位来度量角的制度称为角度制. 规定1度等于 ,1分等于 ,即1°= ,1′= . (2)弧度制 长度等于 的圆弧所对的 为1弧度的角,记作1 rad.这种以弧度为单位来度量角的制度称为 . 360 60分 60秒 60′ 60″ 半径长 圆心角 弧度制 数学 (3)角的弧度数的求法 在半径为r的圆中,若弧长为l的弧所对的圆心角为 α rad,则α= .由此也可以得到l= ,即弧长等于其所对应的圆心角的弧度数与半径的积. αr 答案:一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的,与半径大小无关. 2.角度制与弧度制的换算公式 数学 3.弧长与扇形面积公式 α·r 数学 拓展总结 (1)用弧度为单位表示角的大小时,“弧度”两个字可以省略不写,如2 rad的单位“rad”可省略不写,只写2. (2)在弧度制下,角的集合与实数集R之间就建立了一一对应的关系.一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0. (3)一些特殊角与弧度数的对应关系 (4)由扇形的弧长及面积公式可知:对于α,r,l,S“知二求二”,它实质上是方程思想的运用. 数学 师生互动·合作探究 探究点一 [例1] 将下列角度与弧度进行互化: (1)20°; 角度与弧度的互化 (2)-800°; 数学 [例1] 将下列角度与弧度进行互化: 数学 方法总结 数学 [针对训练] (1)把112°30′化成弧度; 数学 数学 探究点二 [例2] 已知角α=2 005°. (1)将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角; 用弧度制表示角的集合 数学 [例2] 已知角α=2 005°. (2)在[-5π,0)内找出与α终边相同的角. 数学 方法总结 当用弧度制表示终边相同的角2kπ+α(k∈Z)时,其中2kπ是π的偶数倍,而不是整数倍,还要注意角度制与弧度制不能混用. 数学 [针对训练] 用弧度表示顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边在图中阴影部分(不包括边界)的角的集合. 数学 数学 探究点三 与扇形的弧长、面积有关的计算 [例3] 已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少? 数学 方法总结 弧度制下涉及扇形问题的策略 (2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量,求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式,直接求解或列方程(组)求解. 提醒:运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度制下 的角. 数学 [针对训练] 设扇形的周长为8 cm,面积为 4 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是(　　) A.1 rad B.2 rad C.3 rad D.4 rad 数学 当堂检测 × 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)1弧度=1°.(　　) (2)每个弧度制的角,都有唯一的角度制的角与之对应.(　　) (3)用弧度制度量角,与圆的半径长短有关.(　　) √ × 数学 C 2.若α=-3,则角α的终边在(　 　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 数学 3.把56°15′化为弧度是(　 　) D 数学 4.在直径为20 cm的圆中,当圆心角为150°时,所对的弧长为　　　　　cm,面积为　　　　　cm2.  数学 点击进入 课时训练·分层突破 点击进入 周练卷 数学 思考:比值与所取的圆的半径大小是否有关? 设一个角的角度数为n,弧度数为α,则=. 　　　公式 度量制　　　　 弧长公式 扇形面积公式 角度制 l= S= 弧度制 l= (0<α<2π) S= =αr2 (0<α<2π) lr 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧 度 0 π 2π 解:(1)20°=20× rad= rad. 解:(2)-800°=-800×=-. 解:(3) rad=×180°=105°. 解:(4)- rad=-×180°=-396°. (3); (4