2.2.3 一元二次不等式的解法课件-2022-2023学年高一上学期人教版(2021)中职数学基础模块上册

数学课程 知识点12 一元二次不等式的解法 第一章 集合 2.2.3 一元二次不等式的解法 复习回顾 复习回顾 1.解一元一次不等式的步骤是什么？ 2. 口答下列一元一次不等式组的解： 3.一元二次方程是如何定义的？解一元二次方程的方法有哪几种？ 一家旅社有客房300间，每间客房的日租金为30元，每天都客满，如果一间客房的日租金每增加2元，则客房每天出租会减少10间．不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，可以保证每天客房的总租金不少于10 000元． 我们知道，两数乘积小于0时，相乘的两数异号，所以解上述不等式，相当于解下面两个不等式组 问题情境创设 解 设每间客房的日租金增加 x 个2元，即客房的日租金为(30＋2x)元，这时将有300－10x 房间租出．可得， (300－10x)(30＋2x)≥10 000， －20x2＋600x－300x＋9 000≥10 000， x2－15x＋50≤0， (x－5)(x－10)≤0， （考虑到实际问题中300－10x≥0，即x≤30.综上，可得问题中的未知数x的范围.） 问题情境创设 解不等式组(1)，得5≤x≤10； 本不等式等价于不等式组： 或 解不等式组(2)，得其解集为空集． 所以原不等式的解集为[5，10]． 即旅社将每间客房的日租金取大于等于40且小于等于50的偶数时，可以保证每天客房的总租金不少于10 000元． 它的一般形式是ax2＋bx＋c＞0（≥）或 ax2＋bx＋c＜0（≤）(a≠0)． 一元二次不等式的解法 只含有一个未知数，未知数的最高次数是二次的不等 式叫做一元二次不等式．满足一元二次不等式的未知数的 取值范围，通常叫做这个不等式的解集. 一元二次不等式 判断下列不等式是否是一元二次不等式： (1)2x2－x＋3≤0； (2) x2－4≥0； (3)－x+5x2＞0； (4) x2＋1＜0； (5) x2－3≤2x； (6) 3x＋5＞0； (7) (x－2)2≤4； (8) 4＜x2． 否 是 是 是 是 是 是 是 例1 解下列不等式：(1) x2－x－12＞0；(2) x2－x－12＜0． 案例讲解 解 因为方程x2－x－12=0的判别式＝(－1)2－4×1×(－12)＝49＞0，方程 x2－x－12＝0 的解是 x1＝－3，x2＝4， 分析：二次三项式分解为x2－x－12＝(x＋3)(x－4)．把(x＋3)和(x－4)看成两个数，根据两个实数相乘的运算法则，两数的积大于0时，它们同号（同为正或同为负）；两数的积小于0时，它们异号. 下面我们分别通过几个不同形式的例题研究一元二次不等式的解法（设我们所研究的均为当a > 0时的一元二次不等式）. 案例讲解 （1）因此，解原不等式等价于解下列两个不等式组： ① 或 ② 解① 得{x|x＞4}；或解②得{x|x＜－3}． 故原不等式的解集为{x|x＜－3或x＞4}． ＞0时，不等式ax2＋bx＋c＞0 等价于a(x－x1)(x－x2)＞0，其解集为(－，x1)∪(x2 ，＋). 案例讲解 （2）解原不等式等价于解下列两个不等式组： ① 或 ② 故原不等式的解集为{x|-3＜x＜4} ． ＞0时，不等式ax2＋bx＋c＜0 等价于a(x－x1)(x－x2)＜0，其解集为(x1 ，x2). 解① 得 ；或解②得{x|-3＜x＜4} ． 课堂练习 课 堂 练 习 解一元二次不等式： （1） (x＋1)(x－2)＜0； （2） (x＋2)(x－3)＞0； （3） x2－3x－4＞0； （4） x2－3x－4＜0． 不等式的解集为{x|－1＜x＜2}． 不等式的解集为{x|x＜－2或x＞3}． 原不等式可化为(x＋1)(x－4)＞0，所以不等式的解集为{x|x＜－1或x＞4}． 不等式的解集为{x|－1＜x＜4} ． 例2 解下列不等式：(1) x2－4x＋4＞0；(2) x2－4x＋4＜0． 案例讲解 解 因为方程x2－4x＋4=0的判别式＝(－4)2－4×1×4＝0， 即方程x2－4x＋4=0有两个相等的根x=2， (1) 用配方法原不等式可转化为 (x－2)2＞0，因为任何一个实数的平方大于等于0，所以原不等式的解集为： ,