第31期 17.2一元二次方程的解法(公式法,因式分解法)-【数理报】2022-2023学年八年级下册初二数学同步学案（沪科版）

书 一、注意分清 ａ，ｂ，ｃ 的符号 例１　 解方程：ｘ２ － ３ｘ－１＝０． 分析：该方程已经是 一般形式，故只需对号入 座地找出 ａ，ｂ，ｃ，此时一 定要注意不要丢掉ａ，ｂ，ｃ 本身的符号，再求出ｂ２－ ４ａｃ的值，最后代入求根 公式即可． 解：因为 ａ＝１，ｂ＝ －３，ｃ＝－１， 所以 ｂ２ －４ａｃ＝ （－３）２－４×１×（－１） ＝１３． 所 以 ｘ ＝ －ｂ± ｂ２－４槡 ａｃ ２ａ ＝ －（－３）±槡１３ ２×１ ＝ ３±槡１３ ２ ． 解得ｘ１ ＝ ３＋槡１３ ２ ，ｘ２ ＝ ３－槡１３ ２ ． 点评：将原方程化为一般形式，确定ａ，ｂ，ｃ的值时， 对方程中的减号一定要特别关注，它们和ａ，ｂ，ｃ是密不 可分的． 二、注意将方程化为一般形式 例２　解方程：３ｘ（ｘ－１）＝２ｘ－２． 分析：运用公式法解一元二次方程时，只有将原方 程化为一般形式，方可确定 ａ，ｂ，ｃ的值，再代入求根公 式即可． 解：原方程可化为３ｘ２－５ｘ＋２＝０． 所以ａ＝３，ｂ＝－５，ｃ＝２． 所以ｂ２－４ａｃ＝（－５）２－４×３×２＝１． 所以 ｘ＝ －ｂ± ｂ ２－４槡 ａｃ ２ａ ＝ －（－５）±１ ２×３ ＝ ５±１ ６ ． 解得ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝ ２ ３． 点评：对于结构不是一般形式ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ ≠０）的一元二次方程，一定要依据有关知识将其化为 一般形式，然后才能运用求根公式． 三、注意ｂ２－４ａｃ≥０的方程才有实数根 例３　解方程：３ｘ２ ＝５ｘ－４． 分析：先移项，化原方程为一般形式，确定ａ，ｂ，ｃ的 值，再计算ｂ２－４ａｃ的值，若ｂ２－４ａｃ＜０，则方程无实数 根． 解：移项，得３ｘ２－５ｘ＋４＝０． 所以ａ＝３，ｂ＝－５，ｃ＝４． 所以ｂ２－４ａｃ＝（－５）２－４×３×４＝－２３＜０． 所以原方程无实数根． 点评：在解一元二次方程时，化一元二次方程为一 般形式并确定ａ，ｂ，ｃ的值后，计算ｂ２－４ａｃ的值并比较 它与０的大小非常重要（根的判别式参见下期）． 书 上期２版 １７．１一元二次方程 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．Ｂ；　４．Ｄ； ５．５００（１－ｘ）２ ＝４０５；　６．２０２１；　７．－３． ８．原方程可化为２（ｘ２－２ｘ＋１）＋ｂｘ－ｂ＋ｃ＝０，整 理，得２ｘ２＋（ｂ－４）ｘ＋２－ｂ＋ｃ＝０．所以ｂ－４＝－３， ２－ｂ＋ｃ＝－１．解得ｂ＝１，ｃ＝－２． 能力提高　９．因为关于ｘ的方程（ｋ－３）ｘ｜ｋ｜－３－ｘ－ ２＝０是一元二次方程，所以｜ｋ｜－３＝２且ｋ－３≠０． 解得ｋ＝±５．当ｋ＝５时，不等式ｋｘ－２ｋ＋６≤０可化为 ５ｘ－２×５＋６≤０，解得ｘ≤ ４５；当ｋ＝－５时，不等式ｋｘ －２ｋ＋６≤０可化为 －５ｘ＋２×５＋６≤０，解得ｘ≥１６５． １７．２一元二次方程的解法 １７．２．１开平方法 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．Ｂ；　４．２５； ５．ｘ１ ＝４，ｘ２ ＝－１． ６．（１）ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝－ ５ ３； （２）ｘ１ ＝ １ ２，ｘ２ ＝－ １ ２； （３）ｘ１ ＝ ４ ３，ｘ２ ＝－１． 能力提高　７．因为（ｘ＋２）★５＝０，由题可得（ｘ＋ ２）２－５２＝０．所以（ｘ＋２）２＝５２．所以ｘ＋２＝±５．解得 ｘ１ ＝３，ｘ２ ＝－７． １７．２．２配方法 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．ｘ１＝ｘ２＝－２；　４．１； ５．ｘ１ ＝ｘ２ ＝－１． ６．（１）ｘ１ ＝３＋槡１１，ｘ２ ＝３－槡１１； （２）ｘ１ ＝ ２＋槡２ ２ ，ｘ２ ＝ ２－槡２ ２ ； （３）ｘ１ ＝槡２＋槡５，ｘ２ ＝槡２－槡５． 能力提高　７．解不等式５（ｘ－２）＋８＜６（ｘ－１）＋ ７，得ｘ＞－３．所以该不等式的最小整数解为 －２，即 ａ ＝－２．将ａ＝－２代入方程ｘ２＋２ａｘ＋ａ＋１＝０，得ｘ２－ ４ｘ－１＝０．配方，得（ｘ－２）２＝５．解得ｘ１＝２＋槡５，ｘ２＝ ２－槡５． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｂ Ｄ Ａ Ｂ Ｄ Ｂ Ｃ 二、９．２ｘ２＋ｘ－１＝０；　１０．２０３２；　１１．±槡３； １２．第二象限． 三、１３．（１）ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝－２； （２）ｘ１ ＝９，ｘ２ ＝－５； （３）ｘ１ ＝ ２＋槡６ ２ ，ｘ２ ＝ ２－槡６ ２ ． １４．（１）二． （２）因为ｘ２－ｘ－１２ ＝０，所以ｘ ２－ｘ＝１２．所以ｘ ２ －ｘ＋１４ ＝ １ ２ ＋ １ ４，即（ｘ－ １ ２） ２ ＝ ３４．解得 ｘ１ ＝ １＋槡３ ２ ，ｘ２ ＝ １－槡３ ２ ． １５．解不等式ｋ＋３≥２ｋ－１，得 ｋ≤４．解不等式 １ ２（ｋ－１）＋１≥ １ ３（ｋ－１），得ｋ≥－５．所以不等式组的 解集为 －５≤ｋ≤４．把ｘ＝０代入一元二次方程，得ｋ２＋ ６ｋ＝７．解得ｋ＝１或ｋ＝－７（舍去