第27期 周期变化、任意角、弧度制-【数理报】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册同步学案（北师大版）

书书书 １９． （１２ 分 ） 半 径 为 １２ ｃｍ 的 轮 子 ，每 ３ 分 钟 转 １ ０００ 圈 ．试 求 ： （１ ） 它 的 平 均 角 速 度 （１ 秒 钟 转 过 的 弧 度 数 ） ； （２ ） 轮 沿 上 一 点 １ 秒 钟 经 过 的 距 离 ； （３ ） 轮 沿 上 一 点 转 过 １ ０００° 所 经 过 的 距 离 ． ２０． （１２ 分 ） 某 次 帆 船 比 赛 ＬＯ Ｇ Ｏ （ 如 图 ３ ） 的 设 计 方 案 如 下 ： 在 Ｒ ｔ△ ＡＢＯ 中 挖 去 以 点 Ｏ 为 圆 心 ，Ｏ Ｂ 为 半 径 的 扇 形 ＢＯ Ｃ （ 如 图 ３ ） ，使 得 扇 形 ＢＯ Ｃ 的 面 积 是 Ｒ ｔ△ ＡＢＯ 面 积 的 一 半 ．设 ∠ ＡＯ Ｂ ＝ α （ｒａｄ ） ，求 α ｔａｎ α 的 值 ． ２１． （１２ 分 ） （２０２２ 甘 肃 省 会 宁 县 第 一 中 学 高 一 期 中 ） （１ ） 已 知 扇 形 的 周 长 为 ８ ，面 积 是 ４ ，求 扇 形 的 圆 心 角 ． （２ ） 已 知 扇 形 的 周 长 为 ４０ ，当 它 的 半 径 和 圆 心 角 取 何 值 时 ， 才 使 扇 形 的 面 积 最 大 ？ ２２． （１２ 分 ） 如 图 ４ ，圆 心 在 原 点 ，半 径 为 ２ 的 圆 交 ｘ 轴 的 非 负 半 轴 于 点 Ａ ，Ｐ ，Ｑ 是 圆 上 的 两 个 动 点 ，它 们 同 时 从 Ａ 点 出 发 沿 圆 周 作 匀 速 运 动 ， 点 Ｐ 逆 时 针 方 向 每 秒 转 π３ ，点 Ｑ 顺 时 针 方 向 每 秒 转 π６ ，试 求 它 们 出 发 后 第 五 次 相 遇 时 各 自 走 过 的 弧 长 ． ! " # $ % & ' ( ) *+,-./0123456789!"#$%&'( *+,-./0123456789!")$%&'( ! " # ! ! $ % & ' ( % ) ! " 书 一、周期变化 １．周期函数的概念：一般地，对于函数 ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ ∈ Ｄ，如果存在一个 ① ，使得 ② ，都有 ｘ＋Ｔ∈ Ｄ且满足 ③ ，那么函数 ｙ＝ｆ（ｘ）称作周期函数， 非零常数Ｔ称作这个函数的④ ． ２．周期函数的周期不止一个． ３．如果在周期函数 ｙ＝ｆ（ｘ）的所有周期中存在一 个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数ｙ＝ｆ（ｘ） 的⑤ ． 二、任意角 １．角的概念推广 （１）如右图，平面内一条 射线ＯＡ绕着它的端点Ｏ按箭 头所示方向旋转到终止位置 ＯＢ，形成角α．其中点Ｏ是角α 的① ，射线ＯＡ是角 α的② ，射线ＯＢ是角α的③ ． （２）在数学上规定，按④ 旋转形 成的角叫作正角，按 ⑤ 旋转形成的 角叫作负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它 形成了一个⑥ ． （３）如果一个角的终边沿逆时针或顺时针方向旋 转⑦ 的整数倍，那么所得新角的终边与原角 的终边重合． （４）零角的始边与终边重合，如果α是零角，那么α ＝０°． ２．象限角 在平面直角坐标系内讨论角时，角的顶点在 ⑧ ，始边在ｘ轴的 ⑨ ．以角的 终边（除端点外）在平面直角坐标系的位置对角分类： 角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果 角的终边在 ⑩ ，这个角就不属于任何象 限． ３．终边相同的角 一般地，给定一个角α，所有与角 α终边相同的角， 连同角α在内，可构成一个集合 Ｓ＝｛β｜β＝α＋ｋ· ３６０°，ｋ∈Ｚ｝，即任何一个与角α终边相同的角，都可以 表示成角α与瑏瑡 的和． 三、弧度制 １．弧度概念 （１）在单位圆中，把长度等于① 的弧所对的圆 心角称为１弧度的角．其单位用符号 ② 表示， 读作弧度． （２）在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对 ③ 的弧度数．这种以弧度作为单位来度量角 的方法，称作弧度制． （３）一般地，弧度与实数一一对应．正角的弧度数 是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数 是０． ２．弧度与角度的换算 １°＝２π３６０ｒａｄ＝ π １８０ｒａｄ≈０．０１７４５ｒａｄ， １ｒａｄ＝３６０°２π ＝１８０° π ≈ ５７°１８′． ３．弧度数的计算公式 ｜α｜＝④ ． ４．扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为ｒ，弧长为ｌ，α为其圆心角的弧度数 （０＜α＜２π），ｎ为圆心角的角度数，则 （１）扇形的弧长公式：ｌ＝ｎπｒ１８０＝⑤ ； （２）扇形的面积公式：Ｓ＝ｎπｒ ２ ３６０＝⑥ ＝⑦ ． （参考答案见本期） 书 ! 、 "# 、 $# 、 %# & １ !" １ #$ ４０ % ， %&'"()*+ ． （２） ,- ７：００ ./012($3 ， #45678( 9:; １０ %< ， =+>?9(%<@A; １０ %<