第2章 5 从力的做功到向量的数量积-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（北师大版）

§5　从力的做功到向量的数量积 5.1　向量的数量积 学习目标 1.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义,提高数学抽象的核心素养. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系,提高学生直观想象的核心素养. 3.掌握向量数量积的运算律及其应用,提升数学抽象与数学运算的核心素养. 平面向量数量积的物理背景及其含义 　　一只猴子捡到一把钝刀,连小树也砍不断.于是它向砍柴人请教,砍柴人说:“把刀放到石头上磨一磨”.于是猴子高兴地飞奔回去,立刻把刀放在一块石头上拼命地磨,直到它发现刀口和刀背差不多厚了,便停下来……结果当然是失败的.难道猴子没有做功吗?不!难道猴子没有用心吗?不!但是做功≠成功. 探究1:物理学中一个物体在力的作用下产生位移,如何描述? 提示:一个物体在力的作用下产生位移,就说这个力对物体做了功. 探究2:如果力的方向跟物体的运动方向相同,怎样求解力对物体做的功? 提示:功就等于力的大小和位移大小的乘积. 知识点1　向量的数量积的定义 (1)向量a与b的夹角为θ(也可记作<a,b>),|a||b|·cos θ称为a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos<a,b>=|a||b|cos θ. (2)规定:零向量与任一向量的数量积为0. 思考1: 两个向量的数量积的结果是数量,该数量在0°≤θ<90°时为正值,在θ=90°时为0,在90°<θ ≤180°时为负值.结合上述事实和数量积的定义,概括出|a·b|与|a||b|之间的关系. 提示:|a·b|≤|a||b|,当且仅当θ=0°或180°时等号成立. 知识点2　投影 (1)投影向量. 已知两个非零向量a和b,作=a,=b,过点A作AA′⊥OB,垂足为A′,得到向量γ=,称向量γ为向量a在向量b上的投影向量. (2)投影向量的数量. |a|cos<a,b>称为向量a在向量b方向上的投影数量,|a|cos<a,b>=|a|·=a·. 思考2:两个向量的数量积a·b的几何意义是什么? 提示:两个非零向量a,b的数量积a·b,等于向量a在向量b上的投影数量与b的模的乘积.也等于向量b在向量a上的投影数量与a的模的乘积. 知识点3　数量积的运算性质 (1)数量积的运算律. 对任意的向量a,b,c和实数λ: ①交换律:a·b=b·a; ②与数乘的结合律:λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb); ③关于加法的分配律:(a+b)·c=a·c+b·c. (2)数量积的性质. ①若e是单位向量,则a·e=e·a=|a|cos<a,e>; ②若a,b是非零向量,则a·b=0⇔a⊥b; ③a·a=|a|2,即|a|=; ④cos<a,b>=(|a||b|≠0); ⑤|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时等号成立. 思考3:向量的数量积满足消去律吗? 提示:不满足.即由a·b=a·c,不一定能得到b=c. 重要公式: 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 完全平方公式 (a±b)2=a2±2a·b+b2 　向量数量积的计算 [例1] 已知正方形ABCD的边长为1,分别求: (1)·;(2)·;(3)·;(4)·. 解: 如图, (1)因为<,>=π,所以·=-1. (2)因为<,>=,所以·=0. (3)因为<,>=,所以·=×1×cos =-1. (4)因为<,>=,所以·=1××=1. 求平面向量的数量积的一般步骤及注意事项 (1)确定向量的模和夹角,根据定义求出数量积. (2)a与b垂直当且仅当a·b=0. (3)非零向量a与b共线当且仅当a·b=±|a||b|. [针对训练] 已知|a|=5,|b|=4,当a与b满足下列条件时,分别求a·b. (1)a与b的夹角为π; (2)a⊥b; (3)a与b的夹角为; (4)a∥b. 解:(1)a·b=|a||b|cos <a,b>=5×4×(-)=-10. (2)a·b=|a||b|cos <a,b>=0. (3)a·b=|a||b|cos <a,b>=5×4×=10. (4)因为a∥b, 所以当a,b同向时,a·b=|a||b|cos <a,b>=5×4×1=20; 当a,b反向时,a·b=|a||b|cos <a,b>=5×4×(-1)=-20. 　向量的投影 [例2] (1)已知向量b的模为1,且b在a方向上的投影数量为,则a与b的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° (2)已知a·b=16,若a在b方向上的投影数量为4,则|b|=　　　　.  解析:(1)因为向量b的模为1,且b在a方向上的投影数量为,则|b|cos<a,b>=,得cos<a,b>=,因为<a,b>∈[0°,180°],所以<a,b>=30°.故选A. (2)设a与b的夹角