专题3 培优提能7 数列通项公式的求法-【导与练】2023高考数学二轮复习教学课件PPT（新教材）

导马球 培优提能7 数列通项公式的求法 培优链接 求数列的通项公式是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等 比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为 等差数列或等比数列，再利用公式求解，体现化归思想在数列中的应用。常见方 法有累加法、累乘法、构造法(构造等比或等差数列)、利用a_a与S_n的关系求 通项公式等。 培优点1 累加法 典例1(2022·广东佛山期中)已知数列{a}满足a=L,a一 一，则a三 解析：将递推关系式取倒数得一一 三-+2n, 12na"+11 an+1 an an 即—一=2n,分别用1,2,3，…，-1替换n得-一=2X1,一-一=2×2，一一=2X3,…, 11 11 11 11 an+1 an a2 al a3 a2 at a3 =2(n-1),以上n-1个式子相加得---=2[1+2+3++(n-1)]=n(n-1)(n≥2)， 八 11 an an 1 an al 所以一=n-n+1,当n=1时，上式也成立，所以a日 1 1 答案题 n2n+1 ◆名师指津◆ 形如ant1-an+f(n)的数列，常用累加法，即利用an=a1+(a2a)+(a3a2)+… +(an-an-)求通项公式 触类旁通1设数列{a}满足a=3,a=a十，则通项公式a 解析：原递推公式可化为a1-an=- 11 则a2-a1三-一，a3-a2=-,a4-a=-}.u+hn1an2 an-an1 11 11 11 11 11 以上(n-乃系式子的等号两端务别相加得aa-子卫，故a=4卫1n 答案：4 一一一一一 培优点2 累乘法 典例2设数列{a}是首项为1的正项数列，且(n+1) -n +antl·a,=0,则它的通项 公式a 2 2 解析：由(n+1) -n +ant.an=0,[(n+1)an-nan](ant+an)=0, 又数列(a小为额数列服即a>0,且a=1, 所以(n+1)a1-nam-0,即—一， an+1 an n+1 所以a=·二·…··a=一X二X…X-X1 an-1 an 2 匠 n1子王 答案：一 ◆名师指津◆ 形如anm=anf(n)的数列，常采用累乘法，即利用恒等式am=a!·一·一·…·一求通 a2 a3 an al a2 an 1 项公式. 触类旁通2 设数列{an}满足a1=l,ant1=2nan,则通项公式an 解析：由an=2”an,得一=2'(n≥2）， an an 1 (-） 所以an=一 ·二·…·-·a1=21.22。…·2X1=223+m0= nn 1 an an-1 a2 2 an 1 an 2 al 2 （- 又a1=1符合上式，故a 201 2 (-】 答案： nn 1 2 2 培优点3 构造法 典例3 (1)已知数列{an}满足an=3anl,a1=2,则数列{an}的通项公式为 解析：（1)因为am*1=3an-1, 所以a1-=3(a一），所以3， 1 1 an+T2 1 所以数列a。一}是以a一a为首项，3为公比的等比数列， 1 13 所以a三.3一，所以= 2 3+1 2 答案：(1a 31 (2)(2022·陕西宝鸡期中)已知数列{a}满足a=1，a'=—(n∈N)，则数列{a}的 通项公式是____．an+2 解析：(2)由am=—，得———+1，所以—+1=2(—+1)， a^n+2ⅳa^n+1a^n 又ar=1，所以一+1=2，所以数列{—+1}是以2为首项，2为公比的等比数列， 11 所以一+1=2×2-'=2”，所以数列{a}的通项公式为a_n=— 答案ua(2)a——2n1