专题2 培优提能5 三角形中的中线、高线、角平分线问题-【导与练】2023高考数学二轮复习教学课件PPT（新教材）

导马球 培优提能5」 三角形中的中线、高线、 角平分线问题 6培优链接 一、中线 1.中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB+AC=2(BD+AD) 推导过程：在△ABD中，cosB= 2 2 AB +BD AD 2AB BD 在△ABC中，cosB22 2 AB +BC AC 联立两个方程可得AB4C2(BD+AD),则AD,(AB+AC)BC. [点晴]灵活运用同角的余弦定理，适用于解三角形的题型！ D 2.向量法：=一(b2+c2+2 bccos∠BAC) 21 AD 4 推导过程：由（+)， 1→ AD 2 AB AC 则 =(+)2=++|I||cos∠BAC, 21→ →1→21921 AD 4 AB AC 4AB 4AC 2 AB AC 所以 (b+c'+2 bccos∠BAC). AD2 4 [点睛]适用于已知中线求面积（已知一的值也适用）. B 二、角平分线 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 1.利用角度的倍数关系：∠BAC=2∠BAD=2∠CAD. 2.内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则 AB BD 推导过程：在△ABD中， AC DC 在△ACD中， AB BD sin∠ADB sin∠BAD AC CD AB BD 该结论也可两形鞅之比得证，即A AABD SAcD Ae EB 3.等面积法：因为SAAm+SAACD-S△AC, 所以-c·ADsin—+-b·ADsin—bcsin∠BAC, ∠BAC1 所以b+c)AD=26Co LBAC 1 22 ∠BAC 整理得AD=一 c(角平分线长公式). 2bccos 2 三、高线 b+c 1.h,h2,hs分别为△ABC边a,b,c上的高，则h:h2:h-:-:-一：一：一 111 2.求高一般采用等面积法，即求某底边上的高，需要求出面积和底迪长度 3.高线的两个作用：（1)产生直角三角形；(2)与三角形的面积相关， 培优点1三角形的中线问题 典例1在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos (1)求角B; 8五 解：(1)由c0sC=-一，得2bcos( =2a-c, 利用正弦定理得？s弧Bcos C2sinA-sinC, Ep 2sin Bcos C=2sin(B+C)-sin C, 化简得sinC2 sin Ccos B. 因为C∈(0，T),sinC≠0，所以cosB=, 又因为B∈(0，π)，所以B= 1 2 典例1在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cosC一-一 (2)若△ABC外接圆的半径为，且AC边上的中线长为，求△ABC的面积和周长 5 2 解：(2)由正孩定理得一=2 b sinB飞3→ 设D为AC边上的中，点，则AD-CD=,BD= 3 5 2 2 法-在△BCD中，cos∠CDB=5y2,在△ABD中，cos∠ADB=5Z, 4+4a 4+4c 53 53 因为∠ADB+∠CDB=m,所以cos子YDB+cos∠CDB=O,所以a'+cT,2 由余弦定理b2=c2+a2-2 accos B,可得9=c+a2-ac,即ac-8, 由三角形的面积公式得SAec三acsin B-2, 又(a+c=a+c2+2ac=17+2X8学3，所以ae整33，所以△BC的周长为3+33 法二利用向量的加法法则得2﹒=_+_’ │两边平方得4ⅵ=＋+2ap”BA’BC 即25=c’+a'4BCB，得9=c’+a'-ac， I两式相减得16=2ac，即ac=8， I由三角形的面积公式得S_Δw=-acsinB=2―， 「由25=c’+a+ac，得(a+e)’-ac25，a+633所以△ABC的周长为3+ξ33 ◆名师指津◆ 处理与三角形中线有关的问题的常用方法： (1)利用互补角（如本例中∠ADB与∠CDB互补，其余弦值互为相反数）及余弦定理 求解 (2)利用中线长定理求解，但要书写其证明过程 (3)利用向量法求解 触类旁通1在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=acos C+一csin A,点M ξ3 是BC的中点 3 (1)求A的值： 解：(1)因为b=acos C+一csin A, ξ3 3 根据正弦定理得sinB=sin Acos C+一sin Csin A,所以sin(A+C)=sin Acos C+一sin Csin A, 3 3 3 -3 所以sin Acos C+cos Asin C=sin Acos C+一sin Csin A,所以cos Asin C--sin Csin A. 53 53 因为sinC≠0，所以tanA=.又0<A<π，所以A=. 3