专题1 培优提能1 利用导数式构造函数问题-【导与练】2023高考数学二轮复习教学课件PPT（新教材）

导巧球 培优提能1 利用导数式构造函数问题 培优链接 对于f(x)与f′(x)共存的不等式问题，常结合求导法则构造适当的函数求解， 常见以下形式： （1)对于不等式f′(x)+g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)=f(x)+g(x)。 (2)对于不等式f′(x)-g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)=f(x)-g(x)． 特别地，对于不等式f′(x)>k(或<k)(k≠0)，构造函数F(x)=f(x)-kx。 (3)对于不等式f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)=f(x)g(x)。 (4)对于不等式f’(x)g(x)-f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)—(g(x)≠0)。 (5)对于xf′(x)+nf(x)>0型，构造F(x)=x”f(x)，则F′(x)=[xxt(x)+nf(x)] (注意对x”^的符号进行讨论)，特别地，当n=1时，xf′(x)+f(x)>0，构造F(x)=xf(x)， 则F′(x)=xf′(x)+f(x)>0. (6)对于xf')-nf(x)>0(x≠0)型，构造F(x)=,则F'(x)·（)D(注意 对x的符号进行讨论)，特别地，当n=1时，xf'(x)-f(x)>0,构造F(x)=① f x 则'(x)=)2>0. ()对于不等式f,(x)+f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)=xf(x). (⑧)对于不等式f'(x)-f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)=) f x 典例(1)(2021陕西宝鸡二模)己知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且满足f(x)+xf (x)>0(f'（x)是f(x)的导函数)，则不等式(x-1)f(x2-1)<f(x+1)的解集为 （) A.（-∞，2) B.(1,+∞) C.(1,2) D.(-1,2) 解析：(1)令g(x)=xf(x),则g'(x)=f(x)+xf'(x)>0,即g(x)在(0，+∞)上单调递增， 又+1>0，则(x-1)f(x2-1)<f(x+1)等价于(x2-1)f(x2-1)<(x+1)f(x+1),即g(x2-1)<g(x+1), 所以 2 解得1<x<2,所以原不等式的解集为(1,2).故选C. x_1>0 社1之P+1'回 (2)(2022·安徽芜湖模拟预测)己知定义在R上的函数f(x)满足f'(x)-2f(x)>0,则下列 大小关系正确的是( A.f(2)>ef(1)>e3f(-) B.ef(1)>r(2)>er) C.ef(1)>e3f()>f(②) D.f(2)>ef32e2f(1) 解析：(2)构造函数g(x)口，其中x∈R,则g'(x))>0, f去 所以，函数g(x)为R上的赠函数， 所以，g)<g(1)<g(2),即T<<旦，因此，ef)<ef()<f(2).故选A. (3(2022陕西安康高新中学三模)已知函数f(x)的定义域为R,且对任意x∈ R,f(x)-f'(x)<0恒成立，则exf(x+1)>e4f(2x-3)的解集是() A.(4,+∞) B.(-1,4) C.(-∞，3) D.(-∞，4) 解析：(3)设gx)=口， 则该函数的定义域为R, f e 则g'（ )=)>0,所以gx)在R上单调递增 f x f x 由ef(x+1)>ef(2x3),可得（>（），即gx+1)>g(2x-3), ff2x3 233 又g(x)在R上单调递增，所以x+1>23,解得x<4,所以原不等式的解集是(-∞，4). 故选D. (4)(2022·河南模拟预测)己知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，其导函数是f'(x),且 2f(x)+xf'(x)>x.若f(2)=1,则不等式3f(x)-x一>0的解集是() A.(0,2)B.(2,+∞) C.(0,-)D.(,+∞) 3 23 解析：(4)构造函数g(x)=xf(x)一×，其中x>0, 则g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)-x2=I2f(x)+xf'(x)-x灯>0， 故函数g(x)=x2f(x)一×在(0，+o∞)上单调递增，且g(2)=4f(2)-三， 因为x0,由3f)-X电0可得×f)写即g()>g(2,解登>2.故选B. ◆名师指津◆ 解决f(x)与f'(x)共存的不等式问题的关键是熟练掌握求导法则及导数的结 构形式。 触类旁通 (1)(2022·黑龙江哈尔滨三中一模)已知f(x)是定义在R上的偶函数，f'(x) 是E(x)的导函数，当x≥0时，f'(x)-2x>0,且f(1)=3,则f(x)>x2+2的解集是( A.(-1,0)U(1,+∞) B.（-∞，-1)U(1,+∞) C.(-1,0)U(0,1) D.(-∞，-1)U(0,1) 解析：（1)令g(x)=f(x)-x2,因为f(x