专题1 第5讲 函数与导数的综合应用-【导与练】2023高考数学二轮复习教学课件PPT（新教材）

导马球 第5讲 函数与导数的综合应用 感悟高考 明确备考方向 6真题体验 1.[不等式恒成立问题](2020全国I卷，T21)已知函数f(x)=ex+ax2-x. (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性； 解：(1)当a=1时，f(x)=e×+x2-x,f′(x)=e×+2x-1,设g(x)=f′(x), 因为g'(x)=e+2>0,可得g(x)在R上单调递增，即f'(x)在R上单调递增， 因为f'(0)=0,所以当x>0时，f′(x)>0;当x<0时，f′(x)<0, 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，在(-∞，0)上单调递减。 1. [不等式恒成立问题](2020全国I卷，T21)已知函数f(x)=ex+ax2-x. (2)当x≥0时，f(x)≥-x+1,求a的取值范围. 解：(2)当x≥0时，f(x)≥-x+1恒成立， ①当x=0时，不等式恒成克，可得a∈R; ②当x0时，可得a≥3x恒成立，设h(x)13 x) 2x +x+1 e 2x +x+1 e 2 2 则hxW=）-（-)· (--)X)-(-)(-)() x13 x1322 x12 2 x e +(2x x 2)2 x e +(2x x )xx 22 x e +2x x 2+x 2 x+1 3 3 (-)一- X x12 2x(ex子xx1) 设m(x)=e-x2-x-1,可得m'(x)=e-x-1,设p(x)=m'(x)=e-x-1,则p′(x)=e-1, 由x0,可得9'(x)>0恒成立，可得m'(x)在(0，+∞)上单调递增，所以m'(x)>m'(0)=0, 即m'(x)>0恒成立，即m(x)在(0，+∞)上单调递增，所以m(x)>m(0)=0, 再令h'(x)=0,可得x=2,当0<x<2时，h'(x)>0,h(x)在(0,2)上单调递增； 当x2时，h'(x)<0,h(x)在(2，+o∞)上单调递减，所以h(x)h(2)=2,所以a≥2 7e 4 4 综上可得，a的取值范围是[，+∞). 7F 2.不等式的证明](2021·全国乙卷，T20改编)已知函数fx)ln(1-x),设函数g(x)凸 证明：g(x)<1. xf x 证明：f(x)=ln(1-x),g(x) ()(-) 当xe0,)时，要证BW xf x xIn 1 x (- 2<1, 因为x>0,In(1-x)<0,所以m(x)<0, 即证x+1n(1-x)>xln(1-x), 化简得x+(1-x)In(1-x)>0. 同理，当xE(←，0)时，要证g)号1，因为x0,1n1-)0, x+ln 1x xhm土x= 所以xIn(1-x)<0，即证x+In(1-x)>xIn(1-x)， ⋮化简得x+(1-x)In(1-x)>0. 令h(x)=x+(1-x)|n(1-x)，再令t=1-x， 」则t∈(0，1)∪(1，+∞)，x=1-t， 令φ(t)=1-t+tInt，φ′(t)=-1+|nt+1=|nt， 当t∈(0，1)时，φ′(t)<0，φ(t)单调递减， 假设φ(1)能取到，则φ(1)=0，故φ(t)>φ(1)=0； 当t∈(1，+∞)时，φ′(t)>0，φ(t)单调递增， 假设φ(1)能取到，则φ(1)=0，故φ(t)>φ(1)=0. 综上所述，g(x)<1成立。 3.[函数的零点问题](2022·全国乙卷，T20)已知函数f(x)=ax-(a+1)1nx. (1)当a=0时，求f(x)的最大值； 解：（1)当a=0时，f(x)=-lnx,x>0, 1 则f'(x)=一一一 111x 当x∈(0,1)时f(x)>0,f(x)单调递增； 当x∈(1，+∞)时，f'(x)<0,f(x)单调递减 所以f(x)mx=f(1)=-1. 3.[函数的零点问题](2022·全国乙卷，T20)已知函数f(x)=ax-(a+1)1nx (2若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围. 解：(2)f(x)=ax-(a+1)1nx,x>0, 1 则f'xW=at-￥（)），x0, 1a+1ax1,x1 当a≤0时，a大1≤0，所必当x∈(0,1)时， f'(x)>0,f(x)单调递增； 当x∈(1，+∞)时，f'(x)<0,f(x)单调递减 所以f(x)mx=f(1)=a-1<0,此时函数无零点，不符合题意； 当0<a<1时，->1，在(0,1)，（←，+∞)上，f'(x)>0,f(x)单调递增； 在(1，上，f(x)<0,f(x)装调递减. 又f(1)=a-1<0,当x趋近正无穷大时，f(x)趋近正无穷大， 所以f(x)仅在（仁，+∞）上有唯一零，点，符合题意； 1 当a1时，f'(的-)≥0，所以fx)单调递增，又f(1)=a10, x 所以f(x)有唯一零点，符合题意； 当a>1时，-<1，在(0，-)