第2章 6.3 函数的最值-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版）

考点同步解读〉高中放学送揉性必修第二册SD多 6.3 函数的最值 高考要求学业标准·考情分祈 ·考点分布· 学科素养 ·学法导引 L.弄清函数最大值、最小值与极大值，极小 1通过图象感知极大值与量大值、 值的区别与联系，理解和熟悉函数f(x) 极小值与最小值之间的联系与区别， 第 必有最大值和最小值的充分条件， 2.类比二次函数的极值与最值的关 直观想象 系，体会三次函数的极值与最值的关系， 2.会用导数求在给定区间上函数的最大 数学运算 并理解单峰函数的极值与最值的关系 第二 值、最小值. 3.体会导数在研究函数性质与图 3.强化数形结合的思维意识，提高运用 象中的工具性作用，提升数学运算、逻 导数分析和解决实际问题的能力. 辑推理等核心素养， 考点分类考点迹析·典婀剖祈 考点1 利用导数求函数的最值 ·核心总结 溪概念游析… 1.函数最值存在性定理 1.函数最值存在性定理 一般地，在闭区间[a,b们上的连续函数f(x)必有最大值与 为利用导数求函数最值提供 最小值.在开区间(a,b)内的连续函数f(x)不一定有最大值与 了有力依据.这是因为可导函 最小值 数一定是连续函数（其图象是 2.求函数y=f(x)在闭区间[a,b们上的最值的步骤 连续不断的曲线)，因而它在 第一步，求函数y=f(x)在开区间(a,b)上的极值： [4,b们上一定存在最值.故只 第二步，将函数y=∫(x)的各极值与端点处的函数值 需求出函数∫(x)在开区间 f(a),f(b)作比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是 (a,b)上的极值，再比较这些 最小值 极值与端点处的函数值即可 2.最值与极值的区别与 ⊙考题设函数f(.x)=a.x3十bx十c(a≠0)为奇函数，其图 联系 象在点(1，f(1)处的切线与直线x一6y一7=0垂直，导函数 (1)极值是对某一点附近 f(x)的最小值为一12. (即局部)而言的，最值是对函 (1)求a,b,c的值. 数的定义区间[a,b们的整体而 (2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[一1,3] 言的，函数的最值可能是函数 上的最大值和最小值. 的某一个极值，也可能不是画 解析(1)，f(x)为奇函数，，.f(一x)=一f(.x), 数的极值 即-a.x-bx十c=-a.x-bx-c,∴c=0. (2)在函数的定义区间 :(x)=3a.2十b的最小值为-12，∴.a>0,b=-12 [a,b们内，极大（小）值可能有 又直线x-6y-7=0的斜率为行，“f1)=3a+6=-6, 多个，但最大（小）值若存在， 134 /第二章>导教及共应用 故a=2,b=-12,c=0. 则只有一个 (2)f(x)=2x3-12x,f(x)=6.x2-12=6(x+V2)(x-√2)， (3)函数f(x)的极值，点 列表如下： 为定义域中的内点，而最值点 既可以是定义域中的内，点，也 x (-0,-√2) -√② (-2,2) 2 (w2,十∞) 可以是区间的端，点 f'(x) + 0 0 + (4)对于可导函数，函数 f(.x) 极大值 极小值 的最大（小）值必在极大（小） .函数f(x)的单调递增区间为（一∞，一√2），（√2，十c∞） 值点或区间端点处取得 例如：如图所示是y一 第 :f(-1)=10,f(3)=18,f(2)=-8W2,f(-2)= f(x)在区间[a,b们上的函数图 -f(w2)=8√2， 象.显然f(x),f(x),f(x) .当x=√2时，f(x)取得最小值一8√2： 为极大值，f(x),f(x), 当x=3时，f(x)取得最大值18. f(x)为极小值.但最大值 M=f(x)-f(b)在x=x及 ⊙变式司求函数f)=之x十simx在[0,2]上的最值. x=b处取得，最小值m= f(x,)在x=x处取得. ⊙考题2（经典，全国Ⅱ卷节选）已知a≥0，函数f(x) (x2一2a.x)c,求函数f(x)的最小值点」 解标函数f(x)的定义城为R. f(x)=(.x2-2a.x+2.x-2a)e. 由于(2-2a)2-4×(-2a)=4+4a2>0. 解方程x2-2a.x十2.x-2a=0,得x1.2=a-1士√a2+1. 令f(.x)>0得x<a-1-√a2+1或x>a-1+√a+1; 令f(x)<0得a-1-a2+1<x<a-1+a2+1. 所以函数f(x)在(-o∞，a-1-√a2+1),(a-1+√a+1, 十o)上单调递增，在(a一1-√a+1,a一1十√a+1)上单调递减. 由a>0知a-1-√a2+1<0,a-1+√a2+1≥0. 又当x<0时，f(x)=x(x-2a)e>0, 而f(a-1+√a2+1)≤f(0)=0. 故函数f(x)的最小值，点为x=a一1十√a2十1. 1