第2章 1 平均变化率与瞬时变化率-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版）

第二章 导数及其应用 §1平均变化率与瞬时变化率 高考要求学业标准·考情分祈 剪 一考点分布· 学科素养· 一学法导引 1.了解函数的平均变化率的概念， 1.通过实例分析由函数的平均变化率过 第二章 会根据具体的函数求出函数的 渡到瞬时变化率的过程，从中感受瞬时变化率 平均变化率 数学运算 是由平均变化率逼近而来的， 2.理解瞬时速度的含义，了解并感 数学抽象 2.结合实际探索函数的图象，理解函数的 受当△→0时，用平均速度来通 平均变化案与瞬时变化率的实际意义与平均 近时刻瞬时速度的思想， 变化率的几何意义. 考点分类考点透析·典例到析 考点1 平均变化率 ·核心总结 沙难点突破 L.设函数y=f(x),x1,x2是其定义域内不同的两点，那 对平均变化率概念的理解 么我们把式子f)二儿称为函数y=f()从西到的 1.在Ay=)-f) 21 △r 平均变化率. 中，△y的位可正可负，也可为 0.若△y恒为0，则f(x)为常 2.求函数y=f(x)的平均变化率的一般步骤如下： 数西数：△x的值可正可负，但 (1)求自变量的增量△x=x2一x1: 不能为0. (2)求函数值的增量△y=f(2)一f(x) 2.若x1=0,x=x0十 (3)计算平均变化率Ay=x)一f) △，则平均变化率可以表示 2一1 为Ay=+△)-f2 计算△y,△x时要注意“被减数”和“减数”的前后对应关 △x △t 3.在运用平均变化率公 系，比如：若函数值的增量为△y=f(x十△x)一f(x一△x), 则相应的自变量的增量为(x。十△x)-一(x一△x)=2△x 式+△x）=f求函数 △x 的平均变化率时，x取定值， ⊙考题1(2022，湖北省随州市期未)函数f(x)=x十c(c∈ △x取不同的数值时，函数的 R)在区间[1,3]上的平均变化率为( 平均变化率不一定相同：△x A.2 B.4 C.c D.2c 取定值，取不同的数值时， 解析第一步，计算自变量的改变量△工 函数的平均变化率也不一定 84 第二章〉导教及共应用∥ △x=3-1=2, 相同. 第二步，计算相应函数值的改变量△以. 4.平均变化率的几何意 义：观察函数f(x)的图象（如 △y=f(3)-f(1)=(3+c)-(1'+c)=8. 图所示)，我们可以发现 第三步，求函数在给定区间上的平均变化率A义 x=|AC,f(x2)-f(.x1)= △x BC,所以平均变化率 所以品数)在区同[1.3]上的羊均变化率为公-盘=4 f(x)二x)表示的是直线 r2-x1 答案累B AB的钟率 点评题中虽数f(x)在任意区间上的平均变化率都与c的取 y=fQ) f)-fx》 值无关 f(x) A ⊙变式1(2022，肥东县第二中学期中)若函数f(x)=x 一c在区间[1，m]上的平均变化率为4，则m等于( 0 A.5 B.3 C.5 D.16 考点2 估计函数的瞬时变化率 。核心总结 规律总结… 1.瞬时速度 1.△r趋近于0，是指△ 做变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，把物 与0无限接近，但始终不能等 体在某一时刻的速度叫瞬时速度.用数学语言描述为：设物体运 于0.△r,△y在变化中都趋近 动的路程与时间的关系是s一(t),当△趋于0时，函数s(t)在 于0，但其比值y却趋近于一 △x 6到十△1之间的平均变化率（平均速度）+△)一s趋于 △1 个常数 常数，我们把这个常数称为物体在。时刻的瞬时变化率（瞬时 2.函数在处的瞬时变 化率仅与有关，而与△x 速度). 无关 2.瞬时变化率 3.对于任意一个确定的 对于一般的函数y=f(x),在自变量x从xa变到的过 函数，函数在点x的瞬时变 程中，若设△x=x1一xa,△y=f(x1)一f(x),则该函数的平均 化率都是一个精确值. 变化率为会：-1)二化)=十A)- △x 如果当△x趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么该值 是∫(x)在点x6处的瞬时变化率.瞬时变化率刻画的是函数在 某一点处变化的快慢 难点突破 函数的瞬时变化率和平均 ⊙考题2已知质点M按规律s=2t+3(s的单位：cm,t的 变化率的区别与联系 单位：s)做直线运动， 区别：平均变化率刻画的 (1)求质点M在区间[2,2.01]上的平均速度. 是函数值在一个区间上变化 85 考点同步解读〉高中效学选择性必修第二粉SD2 (2)求质点M在区间[2,2.001]上的平均速度. 的快慢，瞬时变化率刻画的是 (3)估算质点M在t=2s时的瞬时速度， 函数在一点处变化的快慢， 点拨求质点M在[2,2.01]和[2,2.001上的平均速度，即求 联系：当△x→0时，函数 函数s(t)分别在[2,2.01]和[2,2.001]上的平均变化率；而求质 的平均变化率器趋近于画数 点M在1