第3章 空间向量与立体几何 单元知识整合1 微专题妙总结-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版）

第三章〉空间句童与立体几例小 单元知识整合 一、微专题妙总结 内洒阀释识胎汇·方法遮结 (2)由(1)知∠BEB1=90° 微专题1 空间直角坐标系的构建策略 由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B,E, 所以∠AEB=45° 坐标法是利用空间向量的坐标运算解决 故AE=AB,AA1=2AB. 立体几何问题的重要方法，运用坐标法解题往 第 往需要建立空间直角坐标系 以D为坐标原点，DA,DC,DD的方向分 抓住空间几何图形的结构特征，充分利用 别为x轴，y轴、之轴正方向，DA|为单位长， 图形中的垂直关系（或在图形中构造垂直关 建立如图所示的空间直角坐标系Dxy,则 系)是我们构建空间直角坐标系时的关键.下 C(0,1,0),B(1,1,0),C(0,1,2),E(1,0,1), 面举例说明几种常见的空间直角坐标系的构 建策略。 1.利用共顶点的互相垂直的三条棱构建 空间直角坐标系 ⊙例题面(2019·全国Ⅱ卷)如图，长方 3 体ABCD-A1BC1D,的底面ABCD是正方形， 所以CB=(1,0,0),CE=(1,-1,1), 点E在棱AA,上，BE⊥EC CC=(0,0,2). (1)证明：BE⊥平面EBC. 设平面EBC的一个法向量为n=(x,y,), (2)若AE=AE,求二面角BECC1的正 CB·n=0,x=0, 弦值。 即 C2,n=0,x-y+2=0, 所以可取n=(0,一1，一1)。 设平面ECC的一个法向量为m=(x, y1), B CC·m=0,.f2=0, 则 CE.m=0, x1一y十=0 解析(1)由已知得，BC⊥平面ABBA1, 所以可取m=(1,1,0). BEC平面ABBA1,故B:C⊥BE. n。m 又BE⊥EC1,且BC∩EC=C1,BCC 于是cos(n,m）=nm =- 2 平面EB1C,ECC平面EBC, 所以BE⊥平面EBC. 所以二面角BECC的正弦值为马 181 考点同步解读〉高中效学选棒性必锋第一册SD 2.利用线面垂直关系构建空间直角坐标系 由题意知，A(0,0,0),P(0,0,4),M(0,2, ⊙例题2如图，四棱锥P-ABCD中，PA ⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3, 0.C5,2.0.N(1.2,则Pi=0.2. PA=BC=4,M为线段AD上一点，AM 40.P-(1,-2aN-(1.2 2MD,N为PC的中点. (1)证明：MN∥平面PAB. 设n=(x,y,)为平面PMN的法向量， (2)求直线AN与平面PMN所成角的正 n·PM=0, 2y-42=0, 弦值 则 即 n·PN=0, 第 2x+y-2x=0, 章 可取n=(0,2,1). 委 于是1cos(m,A1=1n·Ad_85 n AN 25' B 则直线AN与平面PMN所成角的正弦 第 降册(I)由已知得AM=子AD=2. 如图，取BP的中点T,连接AT,TN 植为票 第四章 3.利用面面垂直关系构建空间直角坐标系 ©例题3(2019·浙江卷)如图，已知三 第五堂 棱柱ABCA1B,C1,平面AACC⊥平面ABC, D ∠ABC=90°，∠BAC=30°，A1A=AC=AC, E,F分别是AC,A1B,的中点. 第六章 由N为PC的中，点知TN∥BC,TN= (1)证明：EF⊥BC 2-2 (2)求直线EF与平面A,BC所成角的余 第 AD∥BC,故TNILAM,四边形AMNT 弦值。 为平行四边形，于是MN∥AT 1 横 因为ATC平面PAB,MN平面PAB, 所以MN∥平面PAB. (2)取BC的中点E,连接AE 由AB=AC得AE⊥BC,从而AE⊥AD, 解析(1)连接AE,因为A1A=AC,E是 且AE=√AB-BE=√AB-(T-5. AC的中点， 以A为坐标原点，AE,AD,AP的方向分 所以AE⊥AC 别为x轴、y轴、之轴正方向，建立如图所示的 又平面A1ACC⊥平面ABC,AEC平面 空间直角坐标系Axy AACC, 平面A,ACC∩平面ABC=AC, 所以AE⊥平面ABC 如图，以点E为原点，分别以射线EC EA1的方向为y轴、之轴的正方向，建立空间直 B D刘 角坐标系Exyz 1182 第三章)空间向堂与立体儿何∥ 不妨设AC=4,则A(0,0,23),B(3,1, 0.B33.23.23.C02.0. ∴.cos(B2,DE= BE.DE BEDE 周光成-(2③，成-（一31.0. -6a2+h2 由EF.BC=O得EF⊥BC 10a2+h2 即cos∠DEB= -6a2+h2 第 (2)设直线EF与平面A1BC所成角为0 10a2+h2 由(1)可得BC=(-3,1,0),AC=(0,2, (2)BE1VC,∴.B.V=0, -23). 设平面ABC的法向量