第3章 4 向量在立体几何中的应用-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版）

考点同步解读〉高中敛学选棒性必锋第一册SD色 §4 向量在立体几何中的应用 高考要求学业标准·考的分祈 一考点分布 一学科素养 ·学法导引· L.理解空间中点的位置向量、直线的方向向量 平面的法向量的概念，掌握求平面的法向量 1.学习空间的角，重在理解 第一重 的方法，能用向量语言表述空间中线线、线 直线与平面所成角的概念，会求 面，面面的垂直、平行关系。 斜线和平面所成的角，理解二面 2.熟练掌握用向量来判断或证明空间中线面位 直观想象 角及二面角的平面角的概念 第二章 置关系的方法，初步体会向量法在研究几何 数学运算 2.学习空间中的各种距离， 问题中的作用。 首先要理解各种距离的概念，通 第三盘 3.能利用转化思想将各种距离化归为点到点、 过具体的例子掌握各种距离的 点到线、点到面的距离，并最终转化为两点间 求法 第四章 的距离。 考点分类考，点透析·典例到析 第五章 考点1 直线的方向向量与平面的法向量 ·核心总结 第六章 奇难点突破 1.点的位置向量 1.线段中点的向量表达式 如图1，在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意 第七章 一点P的位置就可以用向量OP来表示，则称向量OP为点P 在A护=1AB中，当1=号 的位置向量 时，我们就可以得到线段中点 续 2.直线的方向向量 的向量表达式.设，点M是线段 我们把直线1上的向量a以及与a共线的向量叫作直线1 AB的中点，则OM=号Oi+ 的方向向量 OB),这就是线段AB中点的 空间中任意一条直线（的位置可以由（上一个定点A以 向量表达式 及一个定方向确定.如图2，点A是直线l上一点，向量a表示 2.直线的方向向量和平 直线I的方向（方向向量）.在直线1上取AB=a,那么对于直 面的法向量的作用 线l上任意一点P,一定存在实数t,使得A户=tAB.这样，点 (1)可以利用直线的方向 A和向量a不仅可以确定直线！的位置，还可以具体表示出1 向量与平面的法向量表示空 上的任意一点， 间中的直线、平面间的平行、 垂直等位置关系. B (2)可以利用它们表示直 A 线与平面所成的线面角 (3)可以解决求有关线段 图1 图2 图3 图4 164 第三章〉空间句量与立体儿何∥ 3.平面的位置向量 的长度或点、线、面之问的距 空间中平面a的位置可以由α内的两条相交直线来确定. 离问题， 如图3，设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为@ 和b,P为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有 序实数对(xy),使得OP=xa十yb.这样，点O与向量a,b就确 定了平面α的位置，同时还具体地表示出了α内的任意一点 ②方法梳理… 4.平面的法向量 (1)平面法向量的定义 1.利用直线的方向向量 如图4，直线⊥a,取直线1的方向向量a,则向量a叫作 与平面的法向量判断直线与 平面a的法向量.给定一点A和一个向量a,则过点A,以向量 直线、直线与平面、平面与平 面的位置关系，是直线的方向 a为法向量的平面是完全确定的： 向量与平面的法向量的基本 (2)平面法向量的性质 应用，解决此类问题时需注意 ①平面a的一个法向量垂直于平面a内的所有向量. 以下几点： ②一个平面的法向量有无限个，它们互相平行 (1)能熟练地判断两向量 [注意]在对法向量进行求解的过程中，方程组 a0有 的关系（共线或垂直）， n·b=0 四 (2)理解直线的方向向 无数组解，利用赋值法，只需要给x,y,:中的某一个变量赋一特 量、平面的法向量和线面的位 殊值（常赋的值有一1,0,1），即可确定一个法向量，赋值不同，所 置关系之间的内在联系。 五意 求的法向量不同，但(0,0,0)不能作为法向量 (3)理解将向量问题转化 ©考题面(2022·黄石一中单元测试)若A(-1,0,2),B(1, 为几何问题的等价性。 4,10)在直线1上，则直线1的一个方向向量为( ). 2.确定平面的法向量的 A.(1,2,4)B.(1,4,2)C.(2,1,4) D.(4,2,1) 两种方法 第 解ǖ由已知得AB=(1,4,10)一(-1,0,2)=(2,4,8) (1)几何体中已经给出有 2(1,2,4),故选项A中的向量与AB共线，是直线1的一个方向向量. 向线段时，只需证明线面 答案A 垂直 ⊙考题卫(2022·扬州大学附中月考)若A(0,2, (2)几何体中没有给出具 体的直线时，可以采用待定系 B1-1,),C(-2,1,)是平面e内的三点，设平面。的法向 数法求解平面的法向量。 3.直线的方向向量的有 量为a=(x,y,z),则x:y: 关问题的解题技巧 解：A店=（1，-3，-)，AC=(-2,-1,-),且a· (1)直线的方向向量有无 数个，哪个易求求哪个 x-3y-4=0. x=2 AB-0,a·AC-0