2.5直线与圆、圆与圆的位置关系-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版）

2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 ·者点分市 ·补常杀 +学法导引 1.能根据给定直线、圆的方程，判斯直线 1,判断直线与圆的位置关系通常 与圆的位置关系，能根据给定两例的 使用几何方法，即计算圆心到直线的距 方程判断两圆的位置关系.（★★★） 离，并比较它与圆的半径长的大小关 2.会依据题设条件采用相应的形式求圆 系，但求交点坐标时，须用代数方法. 数学抽象、数学运算 的切线方程.（★★★） 2.判斯两个圆的位置关系的主要 方法是几何法，即判断圆心距与两圆的 3,能用直线和圆的方程解决一些简单的 半径之和或半径之差的绝对值之问的 问题（★★★） 大小关系 点分 直线与圆的位置关系的判断 概念辨析 直线与圆的位置关系 1.判断直线与圆的位置 关系 相离 相切 相交 关系的两种方法的优缺点是 什么？ 图形 (1)代数法从方程的角度 来考虑，比较直观，但计算较 为烦琉：几何法从几何的角度 方程观点 4≤a 4=0 40 来考感，方法较为简单，是判 圆心到直线的距圆心到直线的距圆心到直线的距 断直线与回的位置关系的常 几何观点离d与半径r满离d与半径r满 离d与半径r满 用方法。 足> 足=r 足 (2)应用几何法还可以求 L.判别式法（代数法）：将直线和圆的方程联立，得到一个 出圆上有4个，3个，2个、 关于，y的二元二次方程组，消去y(或x),得到一个关于x 1个、0个点到直线的距离等 (或y)的一元二次方程，则 于某一定值的情况。 (1)△>0一直线和圆相交（有两个公共点）： 2.用代散法与几何法判 (2)公=0一直线和圆相切（有一个公共点）： 断直线与圆的往置关系时，两 (3)△0一直线和圆相离（无公共点）， 者在侧重，点上有什么不同？ 代数法与几何法部能判 2.几何法：设圆心到直线的距离为d,圆的半径为十，则 断直线和圆的位置关系，只是 (1)r=直线与圆相交（有两个公共点）： 判断的角度不同，代数法侧重 95 (2)=一直线与圆相切（有一个公共点）： 于“数”的计算，几何法侧重于 (3)>r一直线与圆相离（无公共点）， “形”的直观。 方法梳理 考题1当a(a>0)分别取何值时，直线x+y一2a+1=0 1.判断圆与直线的位置 与圆x2+y-2ax+2y+a2一a十1=0相切、相离、相交？ 关系有以下两种方法： 国方法一将已知圆的方程化为标准方程：(x一a)2十 (1)几何法：把四C的圈 (y十1)2=a.圆心为(a,一1)，半径为√a,则圆的圆心(a,一1)到直 心(a.b)到直线I的距离d与 线x+y-2a十1=0的距离为 圆的半径r作比较，即圆C与 直线/相离一r:即C与直 la-1-2a+11_la=a 线（相切=d=r:圆C与直线 √2 22 l相交一d<r. 当a=√a,即a=2时，直线和圆相切； (2)代数法：用圆C和直 √2 线（的公共点的个数来判定， 当a>a,即a>2时，直线和圆相离； 2 一般需通过解方程组进行消 元，然后用判别式来判断，这 当“<a,即0<a<2时，直线和圆相交. √2 种方法计算量校大，但具有较 普遍的意义。 方法二将直线方程与圆的方程联立成方程组得 2.用几何法判定直线与 x+y-2a+1=0, ① 圆的位置关系的主要步骤： x2+3y2-2a.x+2y+a2-a+1=0. ② (1)把圆的方程化为标准 将①代入②，得2x2-6a.x+5a2-a=0. 形式，求出其圆心和半径， △=(-6a)2-4×2×(5a2-a)=-4a2+8a=-4a(a-2) (2)利用，点到直线的距离公 (a>0). 式，求出圆心到直线的距离山. 当△=0，即a=2时，直线与圆只有一个公共点，此时直线与 (3)判断：当d>r时，直 圆相切： 线与圆相离：当d=r时，直线 当△>0，即0<<2时，直线与圆有两个公共点，此时直线与 与圆相切：当d<r时，直线与 圆相交： 圆相交， 当△<0，即a>2时，直线与图没有公共点，此时直线与圆相离. 3.用代数法判定直线与 变式1已知直线l:2m:x-y-8n=0,圆C:(x-3)2+ 圆的位置关系的主要步骤： (1)将直线方程与圆的方 (y十6)=49，判断直线1与圆C的位置关系. 程联立成方程组， (2)判用消元法，得到一 个一元二次方程 (3)求出其判别式△的值 变式1-2已知直线l:3x+y一4=0和圆C:x2+y2一2y (4)比校△与0的大小关 4=0,判断直线1与圆C的位置关系，如果相交，求出它们的交点 系，当△>0时.直线与国相 坐标 交：当△=0时，直线与圆相切： 当△<0时，直线与圆和离. 96 2 直线与圆相交的弦长 年5号u 概念骈析 设直线1的方程为Ax+By十C=0,圆C的 1,你认为求弦长时应注 方程为(x一)十(y一)=产，求弦