2.4圆的方程-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版）

2.4圆的方程 ·背点分市 ·学科素杀 一举法导引· L,理解圆的定义，掌星圆的标准方 1.求同的标准方程时，也可以利用圆的儿 程及其特点，（★★） 何性质求出圆心和半径，运用几何性质往往可 以减少运算量. 2,能根据某些具体条件，运用待定 2.圆的一般方程突出了同的方程形式上 数学抽象，数学运算 系数法确定圆的方程，（★★★） 的特点：二元二次方程Azx十Bxy十(y+Dx十 Ey十F=0表示圆，当且仅当：①x和y的系 3初步学会运用圆的方程来解决 数相同且不等于0，即A=C≠0：②没有y这 某些实际应用何题（★★） 样的二次项，即B=0:③D十E一4AF0, 点分 圆的定义及其标准方程 深度解读 1.圆的标准方程的定义 1.所谓圆的标准方程，是 我们把(.x一a)十(y一b)=广称为圆心为(a,b),半径长 指方程的形式，它的优点在于 为(>O)的圆的方程，并把它叫作圆的标准方程 明确地指出了圆心和半径， 2.儿种特殊位置的圆的标准方程 2.由于方程的右端厂> 条件 方程的标准形式 0,故当右瑞小于0或等于0 圆心在原点 时，对应方程不是圆的方程， x2十y=(≠0】 3间的标准方程可用来 过原点 (x-)1+(y-b)=a+万(42+b>0) 解决已知回心和半径求圆的 圆心在x轴上 (x-a)十y2=r(r≠0) 方程的问题和己知回心和圆上 圆心在y轴上 x十(y-b)=f(≠0) 一点求圆的方程的问题（圆心 圆心在x轴上且过原点 (x-a)十y=a(a≠0) 与该点间的距离即为半径长)， 圆心在y轴上且过原点 2+(y-b)2=b(b≠0) 圆与x轴相切 (u)+(y-b)=b(6≠0) 圆与y轴相切 (2a)+(yb)=a(a≠0) 圆与两坐标轴都相切 (x一a)+(y-b”=a(a=b1关0) 方法归纳 确定圆的标准方程的常用方法 3.确定圆的标准方程的条件 1.直接代入法 在圆的标准方程(x一a)”十()y一b)=广中，有三个参数 已知圆心坐标和半径大 a,b,,只要求出a,b,,这个圆的方程就确定了.因此，确定圆 小，直提代入回的标准方程 85 的方程需要三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是 2.待定系数法 (1)根据题意，设所求的 圆的定形条件 圆的标准方程为(x一口)十 [特别提醒]圆的标准方程中的三个参数，反映了圆的儿何 (y-b)=r, 性质，求圆的标准方程往往采用待定系数法 (2)根据已知条件，建立 考题1(2021，湖南岳阳模拟)已知矩形ABCD的两条对 关于a,b,r的方程组. (3)解方程组，求出a,b.r 角线相交于点M(2,0),AB边所在直线的方程为x一3y-6=0, 的值，并把它们代入所设的方程 点T(一1,1)在AD边所在的直线上， 中，即得到所求圆的标准方程 (1)求AD边所在直线的方程. 3.几何性质法 (2)求矩形ABCD外接圆的标准方程. 在求解圆的标准方程这 丽圆(1)因为AB边所在直线的方程为x一3y一6=0，且 类问题时，能够结合圆的有关 AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为一3. 性质来考虑，可以使思路简 又点T(一1,1)在直线AD上， 捷、直观，计算简单，这就是我 所以AD边所在直线的方程为y一1=一3(x十1)，即3.x+ 们所说的“数形结合”思想，学 习这部分内容时，要培养这种 y+2=0. 思想。 x-3y-6=0, (2)由 得点A的坐标为(0，一2)， 4.定义法 3x+y+2=0 先荆断轨迹是圆，然后写 因为矩形ABCD的两条对角线的交，点为点M(2,0), 出方程。 所以点M为矩形ABCD外接圆的圆心. ©视野拓展 又r=|AM=√(2-0)2+(0+2)严=22， 与圆有关的对称 所以矩形ABCD外接圆的方程为(x一2)2十y=8. 1.圆关于点对称：圆关于 点的对称图形是与已知固半 考题2(1)已知圆C经过点P(一2,4)和点Q(4,4),直径 径相同且两圆心关于该点对 为2√10，求圆C的标准方程。 称的圆， (2)求经过A(6,5),B(0,1)两点，并且圆心在直线3x十10y+ 2.圆关于直钱对称：回关 9=0上的圆的方程. 于直线的对称图形是与已知 丽丽(1)方法一设圆C的圆心坐标为(a,b),由条件知圆 圆半径相同且两圆心关于孩 直线对称的圆。 的半径为√10，则 圆的对称问题实质上还 √(a+2)2+(b-4)2=√10， (a=1, a=1, 是点关于点（或直线）的对称 解得 或 √(a-4)2+(b-4)=√10， b=3b=5. 问题. .圆C的标准方程为(.x-1)2+(y一3)2=10或(x一1)2+ ⊙解题技巧 (y-5)2=10. 1,如果圆心坐标是由两个 参数确定的，则应有两个独立 方法二（待定系数法） 几何条