11.3余弦定理、正弦定理的应用-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（苏教版2019必修第二册）

]网学种问原创，让学习更容为！ coM学科网精品频道全力推荐 11.3正弦定理与余弦定理的应用 常考题型目录 题型1-测量距离问题……………………………………………………………………………………………3 题型2﹒测量高度问题……………………………… 题型3测量角度问题（主要是航海问题）……………………………………………9 知识梳理 知识点一实际测量中的有关名称、术语 令学科网 李科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 知识点二测量距离问题 主要是指水平面上两个位置A,B不能直接到达，从而利用手中的工具，通过测量有关数据，构造三角形， 应用正弦定理、余弦定理解决， 例如当AB的长度不可直接测量时，AB的距离的求法分为以下三类 类型 图形 方法 两点间不可达又不可视 余弦定理 两点间可视但不可达 正弦定理 两点都不可达 先用正弦定理再用余弦定理 知识点三测量高度问题 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC=a,∠BCA=C, AB=a tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及C与∠ADB 的度数 先由正弦定理求出AC或 AD,再解三角形得AB 的值 点B与C,D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠ BDC,∠ACB的度数.在 △BCD中由正弦定理求 得BC,再解三角形得AB 的值 知识点四角度问题 测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等解决 它们的关键是根据题意和图形级有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要 求哪些量，通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量， 从而得到实际问题的解， 题型分类 2 ,原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学科网 学科冈原针，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 题型1测量距离问题 【方法总结】当A,B两点之间的距离不能直接测量时，求AB的距离分为以下三类： (1)两点间不可通又不可视（如图①）：可取某点C,使得A,B与C之间的距离可直接测量，测出AC =b,BC=a以及∠ACB=Y,利用余弦定理得：AB=a2+b2-2 abcos y. (2)两点间可视但不可到达如图②：可选取与B同侧的点C,测出BC=a以及∠ABC和∠ACB,先使 用内角和定理求出∠BAC,再利用正弦定理求出AB. (3)两点都不可到达如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C,D, 测出CD=m,∠ACB,∠BCD,∠ADC,∠ADB,再在△BCD中求出BC,在△ADC中求出AC,最后 在△ABC中，由余弦定理求出AB, Aa⑤ (① ③ 【例题1】（多选）(2023春·安徽合肥：高一合肥一中校考阶段练习)如图，在海岸上有两个观测点C, D,C在D的正西方向，距离为2km,在某天10：00观察到某航船在A处，此时测得∠ADC=30°，5分钟 后该船行驶至B处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，则() A.当天10：00时，该船位于观测点C的北偏西15方向 B.当天10：00时，该船距离观测点C√2km C. 当船行驶至B处时，该船距观测点C√2km D.该船在由A行驶至B的这5min内行驶了√6km 【变式1-1】1.(2023·江苏高一专题练习)如图所示，要在两山顶M、N间建一索道，需测量两山顶 M、N间的距离现选择与山脚B、C在同一平面的点A为观测点，从A点测得M点的仰角∠MAC=60°，N点的 仰角∠NAB=30以及∠MAN=45°，若AC=100米，AB=50V6米，则MN等于 米 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利科购 学科网原到，让李司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 【变式1-1】2.(2022春：上海黄浦高一校考期末)如图，要计算西湖岸边两景点B与C的距离，由于 地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得AD⊥CD,AD=10km,AB=14km, ∠BAD=60°，∠BCD=135°，求两景点B与C的距离（精确到0.1km)参考数据：2=1.414， 5=1.732,5=2.236. 【变式1-1】3.(2023.江苏，高一专题练习)圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来 推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂 直的长尺（称为“圭"），当太阳在正午时核刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最 长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至，图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示 意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC