7.4.2超几何分布-【361课堂】2022-2023学年高二数学同步“导思议展评测”精品课件(人教A版2019选择性必修第三册)

第七章随机变量及其分布 7.4二项分布与超几何分布 7.4.2超几何分布 1 课程标准 1.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字特征（均值、方差）； 2.通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项式及其数字特征，并能解决简单的实际问题； 3.通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单问题的实际应用。 2 复习回顾 回顾1 什么是二项分布？二项分布是怎么判断的？二项分布的期望与方差分别是多少？ 1.二项分布的定义：一般地，在重伯努利试验中, 设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为 如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作. 3 复习回顾 一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下： (1)明确伯努利试验及事件的意义，确定事件A发生的概率； (2)确定重复试验的次数, 并判断各次试验的独立性； (3)设为次独立重复试验中事件发生的次数, 则 .二项分布的期望与方差 一般地，可以证明： 如果, 那么; . 4 新课导入 接下来，我们学习另一种随机变量的模型——超几何分布 5 一 二 三 教学目标 通过具体实例，了解超几何分布 了解超几何分布均值 能用超几何分布解决简单的实际问题 教学目标 难点 重点 新知探究 探究一：超几何分布概念 7 新知讲解 问题1 已知100件产品中有8件次品 , 分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件 . 设抽取的4件产品中次品数为, 求随机变量的分布列. 如果采用有放回抽样, 则每次抽到次品的概率为,且各次抽样的结果相互独立 , 此时服从二项分布, 即. 采用不放回抽样？ 8 新知讲解 问题2 如果采用不放回抽样 , 那么抽到4件产品中次品数是否也服从二项分布? 如果不服从，那么的分布列是什么? 采用不放回抽样 , 虽然每次抽到次品的概率都是0.08 , 但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合重伯努利试验的特征, 因此不服从二项分布. 我们可以根据古典概型求的分布列 9 新知讲解 问题1 已知100件产品中有8件次品 , 分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件 . 设抽取的4件产品中次品数为, 求随机变量的分布列. 解：由题意可知，可能的取值为0，1，2，3，4. 从100件产品中任取4件，样本空间包含个样本点，且每个样本点都是等可能发生的. 其中4件产品中恰有件次品的结果数为 由古典概型的知识，得的分布列为 10 概念生成 超几何分布：一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品. 从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为： 其中n，M，N∈N*，M≤N,m≤n m＝max{0，n-N+M}，r=min{n , M}. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式 那么称随机变量服从超几何分布. :总体中的个体总数; :总体中的特殊个体总数 (如次品总数); :样本容量 :样本中的特殊个体数 (如次品数) 11 新知讲解 问题2 超几何分布的特征是什么？ 超几何分布特征： (1)“由较明显的两部分组成”：如“男生、女生”，“正品、次品”； (2)不放回抽样：“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件” 12 例题讲解 例4 从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率. 解: 设表示选出的5名数学中含甲的人数(只能取0或1) 则服从超几何分布 , 且,, 因此甲被选中的概率为 容易发现，每个人被抽到的概率都是. 这个结论非常直观，这里给出了严格的推导. 13 新知讲解 例5 一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率. 法一： 解: 设抽取的10个零件中不合格品数为X , 则X服从超几何分布 且N=30 , M=3 , n=10 X的分布列为 至少有1件不合格的概率为P(X ≥1)= P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) 法二：P(X≥1)=1−P(X=0) 正难则反 14 新知探究 探究二：超几何分布均值 15 新知讲解 问题3 服从超几何分布的随机变量的均值是什么? 设随机变量服从超几何分布 , 则可以解释为从包含件次品的件产品中，不放回地随机抽取件产品中的次品数. 令，则是件产品的次品率，而是抽取的件产品的次品率. 我们猜想，即 . 实际上，令m＝max{0，n-N+M}，r=min{n , M} , 由随机变量均值的定义： 16 新知讲解 当时，注意到上式中间求和的第一项为0 ,类似可以证明结论依然成立. 服从超几何分布的随机变量的均值E()=p，即 E(X)=np 17 新知讲解 例6 一袋中有100个大小相同的小球, 其中有40个黄球、60个白球，从中随机摸出20个球作为样本