2.2 基本不等式-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

考点同步解读〉高中效学必修第一册RJA 2.2基本不等式 高考要求学业标准·莉的分祈 ·考点分布 学科素养 ·学法导引 L.了解算术平均数、几何平均数的概念， 理解基本不等式的代数证法和几何 数学抽象、逻辑推理 1.应用基本不等式解决有关问题 第 证法.（★★） 时，必须紧扣它的适用条件，否则就会 得出错误的结论。 2.熟练地掌握基本不等式及其变形形 2.要善于活用基本不等式，也就是 第二童 式，并能熟练地运用基本不等式来比较 数学运算、逻辑推理 不仅要善于“正用”“逆用”，更要善于 两个实数的大小、求某些函数的最大 “变形用” (小)值、证明简单的不等式.（★★★★） 第三章 3.要善于应用基本不等式解决比较 3.通过应用基本不等式解决有关实际问 大小，求最值、证明不等式等问题，提炼、 题，进一步提高运用数学知识分析和 数学运算、数学建模 第四章 归纳、总结解题规律和方法，并熟练掌握。 解决实际问题的能力.（★★★） 第五章 考点分类考点透析·典例剑祈 考点1] 基本不等式 模 ·核心总结 块 海难点突破 1.重要不等式：如果a,b∈R,那么 基本不等式的证明 a+b≥2ab(当且仅当a=b时，等号成立). 1.代数法 2.对重要不等式a2+b≥2ab(a,b∈R)的理解 方法一当a>0,b>0 (1)不等式中的a,b既可以是某个具体的实数，也可以是 时，-励=面+ 2 一个代数式. (D-2a·0]=a- (2)“当且仅当”的含义：①当a=b时取等号，即a=b> b)≥0，当且仅当Va=√6，即 a2+b=2ab;②仅当a=b时取等号，即a2+b=2ab→a=b. a=b时，等号成立. (3)等号能取到的条件是a=b,如果a,b不相等，则a2+ 方法二当a>0,b>0 b>2ab中的等号不成立， 时，要证a≥√a而，只需证 2 3.基本不等式：如果a>0,b>0,那么 a十b≥2ab,只需证a十b 当且仅当a=b时，等号成立). 2√ab≥0，只需证（√a b)≥0. ⊙考题司(2022，温州中学测试)下列不等式：①x+十1≥2： 显然，最后一个不等式成 立，所以宁>历成立，当 x+≥2：③若xR,则2x+22≥2,22·2=2.其中 且仅当Va=√石，即a=b时，等 正确的是( 号成立 60 第二章)一元二次函数、方程和不等式 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 2.几何法 团①由于式子x十>2中x的取值范国没有规定，故当 如图所示，AB是圆的直 径，点C是AB上一点，AC= >0时，x十>≥2，当且仅当r=1时等号成立；当x<0时，x+ a,BC=h.过，点C作垂直于 AB的孩DE,连接AD,BD 1-【(-)十已]<-2，当且仅当x=-1时等号成立，故 利用这个图形可以得出基本不 等式va瓜<“艺的几何解择。 ①不正确 D @:x与同号，x+=z+☆>≥2，当且仅当1= 1时等号成立，故②正确 由基本不等式易知③正确.综上，②③正确 E 答系C 易证R△ACDR△IDCB. ⊙变式11(2022，长沙调考)设a,b是正实数，且a十b=4, 那么CD=CA·CB,即CD 则有( =√ab. B+> 这个国的丰径为“学，显 第 然，它大于或等于CD,即时中 C.vab≥2 1、1 D.a+F≥4 2 √ab,当且仅当，点C与圆心重 第五意 ⊙考题2(2022，南昌高三联考)若a>0,b>0,则A= 合，即当a=b时，等号成立. /Q+EB4,C√ab,D三工的大小N顺序为7 因此，基本不等式√ab≤ 模 十也的几何意义是“半径不小 2 解：4>0，b>0,∴Va(当且仅当a=b时取等号). 于半孩” 2 公名师支招… a+6a+b/a+8 又：2 (a+b) 不等式a十b≥2ab和 2 4 生v匹的比较 2a2+2b a+b2+2ab 4 4 1.不等式a2+b≥2ab和 而a2+}≥2ab>0,.2a2+2b≥a2+b+2ab>0, a≥√而成立的条件是不 2 ∴.vV2a+2b≥Va2+6+2ab, 同的，前者要求a,b都是实数， @+Ea十b(当且仅当a=b时取等号)，. 而后者要求a,b都是正数. 2 2.两个不等式都是带有 2 2ab且a>0,b>0,a+b>≥2√ab, 等号的不等式，“当且仅当a= 又 11a+b b时取等号”的含义是：若a= b,则等号成立：若等号成立， 01 1 则a=b. a+b2√ab .2ab≤2ab=ab. ‘a+b2vab 3.两个不等式都具有放缩 即、a团>2含（当且仅当a-6时取等号》 功能，如果有多处用到，应注意 每处取等号的条件是否一致 61 考点同步解读》高中效学必修第一册R]A乡 子≤瓜营单，乎（当且仪当a-6时取等 山规律总结… 1,若问题中一端出现“和