第二章 直线和圆的方程专项拓展训练（一）——2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

《第二章 直线和圆的方程》专项拓展训练（一） 专项一　与直线有关的对称问题 类型1　点与直线、直线与直线间的对称问题 1.[2022广东东莞东华高中高二期中]从点(2,3)射出的光线沿与向量a=(8,4)平行的方向射到y轴上,则经y轴反射的光线所在直线的方程为(　　) A.x+2y-4=0 B.2x+y-1=0 C.x+6y-16=0 D.6x+y-8=0 2.已知点A(a+2,b+2),B(b-a,-b)关于直线4x+3y-11=0对称,则实数a,b的值分别为(　　) A.-1,2 B.4,-2 C.2,4 D.4,2 3.[2022广东深圳南山外国语高二上期中]直线l:x-y+1=0关于点A(2,-3)的对称直线的方程为　　　　.  4.[2022浙江宁波慈溪中学高二期中]若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点　　　　.  5.[2022湖北武汉外国语学校高二期中]已知直线l:y=3x+3,求: (1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标; (2)直线y=x-2关于l的对称直线的方程; (3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程. 类型2　利用对称解决最值问题 6.著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,割裂分家万事非.”事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,根据上述观点,可得f(x)=的最小值为(　　) A. B.5 C.4 D.8 7.在平面直角坐标系中,点A,B分别是x轴、y轴上的两个动点,M(3,4),则|MA|+|AB|+|BM|的最小值是(　　) A.10 B.11 C.12 D.13 8.如图所示,m,n,l是三条公路,m与n互相垂直且交于点O,l与m,n的交点分别是M,N,|OM|=4,|ON|=8,工厂A在公路n上,|OA|=2,工厂B到m,n的距离分别为2,4,货车P在公路l上.  (1)要把工厂A,B的物品装上货车P,问:P在什么位置时,工厂A的搬运工与工厂B的搬运工走的路程之和最少? (2)P在什么位置时,工厂B的搬运工与工厂A的搬运工走的路程差距最多?(假设货物一次性搬运完.) 专项二 阿波罗尼斯圆 1.[2022江苏盐城滨海县八滩中学高二上期中]已知点A(6,0),B(6,2),圆C:(x-8)2+y2=16,点P在圆C上运动,则2|PA|-|PB|的最大值为(　　) A.4+ B.12-2 C.2 D.8 2.(多选)[2022人大附中深圳学校高二上期中]在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),B(4,0),点P满足=.设点P的轨迹为C,下列结论正确的是(　　) A.轨迹C的方程为(x+4)2+y2=9 B.在x轴上存在异于A,B的两点D,E,使得= C.当A,B,P三点不共线时,射线PO是∠APB的角平分线 D.在C上存在点M,使得|MO|=2|MA| 3.已知P,Q分别是圆C:(x-4)2+y2=8,圆D:x2+(y-4)2=1上的动点,O是坐标原点,则|PQ|+|PO|的最小值是　　　　　　. 4.在△ABC中,|AB|=2,|AC|=k|BC|(k>1),则当△ABC面积的最大值为2时,k=　　　　　. 5.已知点O(0,0),点M是圆(x+1)2+y2=4上任意一点. (1)(探求一个定点)x轴上是否存在点A,使得=?若存在,求出点A的坐标;若不存在,请说明理由. (2)(探求定比和一个定点)在x轴上是否存在不同于点O的定点A,使得为常数λ?若存在,求出点A的坐标及常数λ;若不存在,请说明理由. 参考答案 专项一　与直线有关的对称问题 1.A　方法一　由题意得射出光线与反射光线所在直线的斜率互为相反数,射出光线所在直线的斜率为=,故反射光线所在直线的斜率为,故选A. 方法二　由射出光线所在直线l1与向量a=(8,4)平行,知l1的斜率k=,所以l1的方程为y-3=(x-2),其与y轴的交点为(0,2).又点(2,3)关于y轴的对称点为(-2,3),所以反射光线所在的直线过点(-2,3)与(0,2),所以其方程为=,即x+2y-4=0. 2.D　解析 因为点A,B关于直线4x+3y-11=0对称,所以kAB=,即=　①.又AB的中点(,1)在直线4x+3y-11=0上,所以2(b+2)+3=11　②.由①②,得. 3.x-y-11=0 　解析 方法一　设对称直线上一点(x,y),则点(x,y)关于A(2,-3)的对称点为(4-x,-6-y),所以点(4-x,-6-y)在直线l上,代入得x-y-11=0. 方法二　易知直线l关于点A的对称直线与直线l平行,故设为x-y+C=0.由点A(2,-3)到这两条直线的距离相等,得=,解得C=1(舍去)或-11,即所求直线方程为x-y-11=0. 方