08 函导中的双变量问题的处理 同步复习讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高二数学 同步复习讲义（人教A版（2019）） 08 函导中的双变量问题的处理 ◇ 知 识 链 接 ◇ 知识链接01 双变量不等式证明方法 之 同构转化法 若两个变量以相同的结构存在，可以根据此结构构造一个新函数，转化为新函数的单调性处理． 知识链接02 双变量不等式证明方法 之 消参减元法 若两个变量存在确定的关系，可以利用其中一个变量替换另一个变量，直接消元，将两个变量转化为一个变量． 知识链接03 双变量不等式证明方法 之 整体换元法 若两个变量不存在确定的关系，可以将两个变量之间的关系看成一个整体（比 如，，，)等策略将两个变量划归为一个变量整体换元，化为 一元不等式． 知识链接04 极值点偏移问题的一般解法 （1）对称构造法 ①求函数g(x)的极值点x0； ②构造函数F(x)＝g(x0＋x)－g(x0－x)； ③确定函数F(x)的单调性； ④结合F(0)＝0，确定g(x0＋x)与g(x0－x)的大小关系． 其口诀为： 极值偏离对称轴，构造函数觅行踪，四个步骤环相扣，两次单调紧跟随． （2）比值代换法 ①联立消参：利用方程f(x1)＝f(x2)消掉解析式中的参数a； ②抓商构元：令c＝，消掉变量x1，x2，构造关于c的函数h(c)； ③用导求解：利用导数求解函数h(c)的最小值，从而可证得结论． （3）差值代换法 ①取差构元：记s＝t2－t1，则t2＝t1＋s，利用该式消掉t2； ②巧解消参：利用g(t1)＝g(t2)，构造方程，解之，利用s表示t1； ③构造函数：依据消参之后所得不等式的形式，构造关于s的函数G(s)； ④转化求解：利用导数研究函数G(s)的单调性和最小值，从而证得结论． （4）对数均值不等式法 ①定义：两个正数和的对数平均值． ②对数平均值不等式链为：． ③对数平均值不等式链的指数形式为： ，其中． （取等条件：当且仅当时，等号成立） ◇ 典 例 剖 析 ◇ 典例剖析01 同构转化处理双变量问题 （1）已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则的取值范围是 ． （2）已知函数f(x)＝x－1－aln x(a<0)．若对于任意的x1，x2∈(0,1]，且x1≠x2，都有|f(x1)－f(x2)|<4，则的取值范围是 ． 典例剖析02 整体换元处理双变量问题 若b>a>0，求证：ln b－ln a>. 典例剖析03 极值点偏移问题之消参减元、比值代换 已知函数f(x)＝ln x－ax(x>0)，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)． 证明：x1x2>e2. 典例剖析04 极值点偏移问题之消参减元、差值代换 若函数f(x)＝x－aex＋b(a>0，b∈R)有两个不同的零点x1，x2，证明：x1＋x2<－2lna． 典例剖析05 极值点偏移问题之对称构造 已知函数h(x)＝xe－x，如果x1≠x2且h(x1)＝h(x2)，证明：x1＋x2>2. 典例剖析06 化曲为直放缩处理两根间的距离问题 已知函数为自然对数的底数）．若方程有两个实数根，，求证：． ◇ 小 试 牛 刀 ◇ 1．已知函数，，当时，不等式恒成立， 则实数的取值范围为 ． 2．已知函数f(x)＝－x＋aln x存在两个极值点x1，x2，证明：<a－2． 3．已知函数f(x)＝ex＋1－kx－2k(其中e是自然对数的底数，k∈R)． （1）讨论函数f(x)的单调性； （2）当函数f(x)有两个零点x1，x2时，证明x1＋x2>－2. 4．已知函数f(x)＝sin x＋ln x－x－1，f′(x)为f(x)的导数． （1）证明：f(x)在定义域上存在唯一的极大值点； （2）若存在x1≠x2，使f(x1)＝f(x2)，证明：x1－x2＜2ln. 5．已知函数f(x)＝ex－x2－ax有两个极值点x1，x2(e为自然对数的底数)．求证：f(x1)＋f(x2)>2． 6．已知函数，． （1）求的单调区间； （2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的实数，都有； （3）若方程为实数）有两个实数根，，且，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 同步复习讲义（人教A版（2019）） 08 函导中的双变量问题的处理 ◇ 知 识 链 接 ◇ 知识链接01 双变量不等式证明方法 之 同构转化法 若两个变量以相同的结构存在，可以根据此结构构造一个新函数，转化为新函数的单调性处理． 知识链接02 双变量不等式证明方法 之 消参减元法 若两个变量存在确定的关系，可以利用其中一个变量替换另一个变量，直接消元，将两个变量