6.2.4平面向量的数量积运算 讲义02-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面向量的数量积运算讲义 一、知识点梳理 数量积公式，投影向量，模公式，夹角公式，垂直条件 二、主讲知识 【讲透例题1】平面向量数量积 例1、下列判断： ①a2+b2=0,则a=b=0；②已知a,b,c是三个非零向量，若a+b=0,则1ac曰bcl ③a,b共线⊙ab=a‖bl: ④a bka.b: ⑤aaa=a; ⑥非零向量a,b满足：a·b>0,则a与b的夹角为锐角： ⑦若a,b的夹角为0，则1b1cos0表示向量b在向量a方向上的投影长. 其中正确的是 例2、(1)已知单位向量，6的夹角为a、且cosa写，若向量g=36一20，则1 al=」 (2)已知AB.CD=15,CD=5√2，则向量AB在CD方向上的投影为 (3)若1a=l,b=2,c=a+b且c⊥a,则向量a与b的夹角为 (4)已知|a=2,b=3,a与b的夹角为120°，则(2a-b)(a+3b)= 【相似题练习】 1.(多选)△ABC是边长为1的等边三角形，已知向量品=言，Ac=,则下列说法中正 确的是( A.(a+b)⊥(a-) B.ABBC☒ C.1a+21=V月 D.若(0主+2)/(2点+1)则1=2 7.(多选)已知平面向量玉，，满足=引==1，若京.名=，则 (言-)(26-)的值可能为() A.-2 B.3-5 C.0 D. 8.(多选)若a,b,c均为单位向量，且a·b=0,(a-c)(b-c)≤0，则a+b-c的值可能为 A.√2-1 B.1 c.2 D.2 7、设向量a,b满足1a=|b=1及13a-2b=√7. (1)求a,b夹角的大小： (2)求13a+b1的值. 8、已知向量a与b的夹角为120°，且a=2,11=4 (1)计算：4ā-26： (2)当k为何值时，(a+2b1(ka-. 9、已知ld=4,1=3,(2a-36)(2a+)=61 (1)求ā与b的夹角9： (2)求la+和la-. 【小结】 1、已知两个非零向量a与b,它们的夹角为9，则数量/a/b1cos9叫作a与b的数量积， 记作ab, 即ab/a/b1cos9.规定：零向量与任一向量的数量积为零. 2、(1)向量的夹角 ①定义：己知两个非零向量a和b,如图所示，作0A=a,0B=b,则∠AOB=9(0≤ s180°)叫作向量a与b的夹角，记作<a,b>. 平A 0<0 b B ②范围：夹角0的范围是0,1807. 当0=0时，两向量a,b共线且同向： 当9=90时，两向量a,b相互垂直，记作a⊥b: 当0=180时，两向量a,b共线但反向. ③只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不 是CA与AB的夹角，∠BAD才是CA与AB的夹角， D 【讲透例题2】平面向量的坐标运算 例2、已知a=(4,3),b=(5,-12), 求(1)la+； (2)a与b夹角的余弦值. 【相似题练习】 1、如图，在平行四边形A3CD中，AC=(5，2)，BD=(-1，4)，则AC·AD等于 A．12B．16c.8D.7 2、已知a=(-3，2)，b(-1，0)，向量a+b与a-2b垂直，则实数X的值为 A.号B．-，c.-。p。。 3、已知向量a=（1，2)，b（-2，t)，且a/b、则|a+b|- A．\sqrt{2}-B．\sqrt{5} C．\sqrt{10}D.5 4已知向量a（4，-2)…cx，-1)﹐∘(3，-4)，若a小则(b)e— 5、已知abk是共面的三个向量，其中a=(，22)，6|=23||=2\sqrt{6}a1c (1求lc-al， ②若a-b_与3a+2b垂直，求a·(a+b+О的值， 三、巩固练习 120分)．若四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60，EF分别为BCCD的中点，则 AF F=(） 2π 2(20分).已知向量a,b满足a·b=0,|a+b=ma,若a+b与a-b的夹角为3，则m的 值为 1 A.2 B.3C.1D.2 3(20分).在△ABC中，有如下三个命题：①AB+C+CA=0,②若D为BC边中点，则 ADB) ③若(AB+AC)·(AB-AC)=0,则△ABC为等腰三角形.其中正确命题的 序号是( A.①② B.①③C.②③D.①②③ 4(20分).在△ABC中，AB=3,AC=2,∠BAC=60°，M是BC的中点，N在直线AM上，且 BN⊥AM、则向量BN在向量AC上的投影为C) 27 27 27 27 A.19 B.38C.19D.38 5(20分).平行四边形ABCD中，AB=2,AD=1,AB·AD=-1,点M在边CD上，则MA,MB的最 大值为