7.3 复数的三角表示 同步练习-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

《第三节* 复数的三角表示》同步练习 知识点1 复数的三角表示式 1.如果非零复数有一个辐角为-,那么该复数的( ) A.辐角唯一 B.辐角的主值唯一 C.辐角的主值为- D.辐角的主值为 2.下列是复数的三角形式的是( ) A.(cos -isin ) B.-(cos +isin ) C.(sin +icos ) D.cos +isin 3.[2022广东珠海市第二中学高一下期中]复数z=i的三角形式是( ) A.2(cos+i) B.2(cos+i) C.2(cos+i) D.2(cos+i) 4.[2022河南开封五县高一联考]设z1=-1+i,z2=(z1)2,则arg z2=( ) A.π B.π C.π D.π 5.[2022江苏省如东中学、姜堰中学、沭阳中学三校段考]由棣莫弗定理可推出以下公式(cos x+isin x)n=cos nx+isin nx(其中i为虚数单位),则复数(cos +isin )7在复平面内所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.若复数z满足||=,arg()=,则z的代数形式是 . 7.[2022华南师范大学附属中学高一下月考]设复数z=3cos θ+isin θ,求函数y=tan(θ-arg z)(0<θ<)的最大值以及对应的θ值. 8.已知k是实数,ω是非零复数,且满足arg ω=,(1+)2+(1+i)2=1+kω. (1)求ω; (2)设z=cos θ+isin θ,θ∈[0,2π),若|z-ω|=1+,求θ的值. 知识点2 复数乘法运算的三角表示及其几何意义 9.[2022江西南昌莲塘一中高一期中]复数(sin 10°+icos 10°)(sin 10°+icos 10°)的三角形式是( ) A.sin 30°+icos 30° B.cos 160°+isin 160° C.cos 30°+isin 30° D.sin 160°+icos 160° 10.如果θ∈(,π),那么复数(1+i)(cos θ-isin θ)的三角形式是( ) A.[cos(-θ)+isin(-θ)] B.[cos(2π-θ)+isin(2π-θ)] C.[cos(+θ)+isin(+θ)] D.[cos(+θ)+isin(+θ)] 11.[2022福建德化一中高一月考]在复平面内,点A对应的复数是+i,向量绕着点O按逆时针方向旋转120°得到向量. (1)求点C对应的复数z0; (2)已知点B对应的复数z满足|z-z0|=1,且<,>=120°,求复数z. 知识点3 复数除法运算的三角表示及其几何意义 12.3(cos+i)÷2(cos+i)的代数形式是( ) A.6i B.-6i C.i D.-i 13.(多选)[2022湖北省仙桃中学高三下月考]已知单位向量,分别对应复数z1,z2,且·=0,则的值可能为( ) A.i B.1 C.-1 D.-i 14.设z1=+i,z2=1-i,z3=+icos ,求的值. 15.把复数z1与z2对应的向量,分别按逆时针方向旋转和后,与向量重合且模相等,已知z2=-1-i,求复数z1的代数形式及其辐角的主值. 参考答案 1.B 因为辐角的主值范围是[0,2π),任何一个非零复数都有唯一的辐角的主值,所以有一辐角为-的非零复数有唯一的辐角的主值,为.故选B. 2.D cos 与isin 之间应用“+”连接,故A错误;-<0不符合r≥0,故B错误;sin +icos 形式不对,故C错误.故选D. 3.C i=×[]=2(i)=2(cos+isin). 4.B z2=(-1+i)2=-i,在复平面内所对应的点是(-,-),位于第三象限,且tan θ=(θ为z2的辐角),所以arg z2=. 5.C 由已知得(cos+isin)7=cos+isin=cos(π+)+isin(π+)=-cos-isin=-i,所以复数(cos+isin)7在复平面内所对应的点的坐标为(-,-),位于第三象限. 6.1+i 解析设=z0,则|z0|=,arg z0=,所以z0=(cos +isin)=i,所以i,解得z=1+i. 7.解析由0<θ<,得tan θ>0. 由z=3cos θ+isin θ,得tan(arg z)=tan θ, 故y=tan(θ-arg z)=. 因为+tan θ≥2,所以≤,当且仅当=tan θ,即tan θ=时,上式取等号. 故当θ=时,函数y取得最大值. 8.解析(1)arg ω=,可设ω=a-ai(a∈R), 将其代入(1+)2+(1+i)2=1+kω, 化简可得2a+2a(1+a)i+2i=ka-kai, 所以解得 所以ω=-1+i. (2)|z-ω| =|(cos θ+1)+(sin θ-1)i| = =