9.4乘法公式(讲+练)-【重要笔记】2022-2023学年七年级数学下册重要考点精讲精练（苏科版)

9.4乘法公式 完全平方公式 拓展：（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2） （a+b）2-（a-b）2=4ab 平方差公式 补充公式 ；； ；. 题型1：完全平方公式 1．若x+y＝1，则x2+2xy+y2＝　　． 【变式1-1】已知x+y＝6，xy＝10，则x2+y2＝　　． 【变式1-2】已知x﹣y＝1，x2+y2＝25，则xy＝　　，x+y＝　 ． 【变式1-3】若n满足（n﹣2020）2+（2023﹣n）2＝1，（n﹣2020）（2023﹣n）＝　　． 题型2：完全平方公式的几何背景 2. 1．如图，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，可得公式 　　． 【变式2-1】如图，两个正方形的边长分别为a和b，若a+b＝12，ab＝26，则阴影部分的面积为 　　． 【变式2-2】如图1，是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． （1）观察图2，可以得到（a+b）2﹣（a﹣b）2＝　　； （2）当（x﹣8）（15﹣x）＝6时，求（2x﹣23）2的值． 【变式2-3】（1）用边长分别为a，b的两个正方形和长宽分别为a，b的两个长方形按如图摆放可拼成一个大正方形，用两种不同的方法可以表示图中阴影部分的面积和． 请你用一个等式表示（a+b）2，a2+b2，ab之间的数量关系 　 　． （2）根据（1）中的数量关系，解决如下问题： ①已知m+n＝6，m2+n2＝26，求m﹣n的值； ②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝74，求（x﹣2022）2的值． 【变式2-4】问题背景 如图，图1，图2分别是边长为（a+b），a的正方形，由图1易得（a+b）2＝a2+2ab+b2． 类比探究 类比由图1易得公式（a+b）2＝a2+2ab+b2的方法，依据图2中的已知条件推导出完全平方的另一个公式． 解决问题 （1）计算：（2m﹣n）2＝　 　； （2）运用完全平方公式计算：1052； （3）已知（x+y）2＝12，xy＝2，求（x﹣y）2的值． 【变式2-5】完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：因为a+b＝3， 所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值； （2）若（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，求（4﹣x）2+（x﹣5）2的值； （3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积． 题型3：平方差公式 3. 已知a+b＝5，a﹣b＝2，则a2﹣b2＝　　． 【变式3-1】已知（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝7，ab＝3，则（a+b）2＝　　． 【变式3-2】计算：　　． 【变式3-3】①（x﹣1）•（x+1）＝x2﹣1 ②（x﹣1）•（x2+x+1）＝x3﹣1 ③（x﹣1）•（x3+x2+x+1）＝x4﹣1 …… A题：猜想（x﹣1）•（x49+x48+…+x+1）＝　　． B题：当（x﹣1）•（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0，代数式x2023﹣1＝　　． 【变式3-4】计算：（x﹣3+2y）（x﹣3﹣2y）． 题型4：平方差公式的几何背景 4. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图），把余下的部分拼成一个矩形（如图），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是　　． 【变式4-1】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形． （1）【探究】 ①请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 　　； 　　； ②比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　 （用字母表示）； （2）【应用】请应用这个公式完成计算：2001×1999． 【变式4-2】如图1，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． （1）上述操作能验证的等式是 　　（用a，b表示）； （2）请利用你从（1）得出的等式，完成下列各题： ①已知9a2﹣b2＝27，3a+b＝9，则3a﹣b＝　　； ②计算：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日：2023/3/2 15:35:15；用户：王康；邮箱：18625211403；学号：215 【变式4-2】计算： （1）长方形和正方形按如图的样式摆放，求图中阴影部分的面积； （2）先化简