7.4 二项式定理-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第二册)

学科阿 学科网原到，让令司更多易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 7.4二项式定理 知识梳理 一、二项式定理及相关概念 L、定义：公式(a+b)”=Ca”+C,a-b++Ca"-b++Cb(n∈N)称为二项式定理 (1)二项展开式：Ca”+C1a-b++Ca"*b++Cb” (2)二项式系数：各项的系数C(k=0,1,2,,)叫做展开式的二项式系数 (3)二项式通项：Cab叫做二项展开式的通项，用T,表示，即通项为展开式中的第k+1 项，可记为：T1=Ca-* (4)在二项式定理中，若设a=1,b=x,则得到公式(1+x)=C。+Cx++Cx++Cx 2、二项展开式的特点 (1)展开式共有n+1项； (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n: (3)字母α的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指 数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n。 3、对通项公式的两点说明 (1)通项公式T1=Ca-b是(a+b)”的展开式中的第k+1项，这里k=0,l,,n; (2)二项式(a+b)“的第k+1项Ca"*b和(b+a)”的展开式第k+1项Cb*a是有区别的，应 用二项式定理时，其中的a与b不能随便交换位置。 二、二项式定理的性质 1、对称性：在(a+b)的展开式中，与首未两端等距离的两个二项式系数相等， 即C=Ca,Cn=Cg,,C=Cg 2、增减性与最大值 当k<”时，C随k的增加而增大：当k>”生时，C随k的增加而减小y 三、求二项展开式冲的特定项或特定项的系数的方法 求展开式中的特定项，主要考查(a+b)"的展开式的通项公式Cα”*b的运用，一般需要借助方 程的思想求未知数k,再将k的值代回通项公式求解，注意k的取值范围（k=0,1,2,,n) (1)求第m项，此时令k+1=m,即k=m-1,代回通项公式求解： (2)求常数项，即这项不含变量，令通项中变量的幂指数为0，建立方程求解； (3)求有理项，令通项中变量的幂指数为整数，建立方程求解； 【补充】求特定项的系数及相关参数值，可依据上述方法求解。 四、求形改如(a+b+c)”展开式中特定项的求解方法 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 1 令学利四 李科网原创，让李司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 1、因式分解法：将三项式利用因式分解变为两个二项式的积，再利用二项式定理求解问题： 2、逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含二项式的项展开，从而 求解问题： 3、组合知识法：把(a+b+c)看成n个(a+b+c)的乘积，利用组合知识分析项的构成。 五、求形如(a+b)"(c+d)“的式子中与特定项相关的量 第一步：分别写出(a+b)"与(c+d)”的二项展开式的通项： 第二步：根据特定项的次数，分析特定项可由（α+b)"与(c+d)”的展开式中的那些项相乘得到 (如x2可由常数项与x2项或x项与x项等相乘得到)： 第三步：把相乘后的项相加即可得到特定项，从而解决问题。 六、巧用威值法解决二项式定理中的系数和问题 l、求二项式系数和：(a+b)”=Ca"+Ca"-b++Ca"-*b++C"b(neN) (1)令a=b=1,则2”=C+C++C++C (2)令a=1,b=-1,则0=C”-C,+C-C:++C(-1)",即偶数项的二项式系数和等于奇 数项的二项式系数和，也即C,+C+C=C+C?+C4+=2”- 2、求各项系数和 (1)形如(ar+b)”,(ar2+br+c)"(a,b,ceR)求各项系数之和，只需令x=1,则各项系数和分 别为(a+b)°，(a+b+c): (2)形如(ax+y)”(a,b∈R)求各项系数之和，只需令x=y=1,则各项系数之和为(a+b)”; (3)若f(x)=a。+a,x+a,x2++ax”,则fx)的各项系数之和为f①， 奇数项系数之和为a。+a,+a4 =f)+f(- ,偶数项系数之和为a,+a,+a,+=f仙)-f山 七、二项式系数的最值与项的系数的最值问题 1、二项式系数的最值问题 如果二项式的幂指数n是偶数，中间项时第 )+1项，其二项式系数C最大： 如果二项式的幂指数是奇数，中间项有两项，即为第”2项和第(”+1项， 它们的二项式系数C2和C2相等且最大： 2、项的系数的最值问题 求常规二项展开式中的系数最大项时，可设第k+1项的系数为1最大，然后解不等式 t21即可 t1≥t+2 八、应用二项式定理解决整除问题的方法 用二项式定理处理整除问题，需要构造一个与题目有关的二项式，通常把被除数的幂的底数写 ©原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 令学利阿 李科网原创，让令司更多易！ JP.ZXXK.COM 学科网精