专题11 列联表与独立性检验-2022-2023学年高二数学新教材同步考点巩固与难点提升（人教A版2019选择性必修第三册）

专题11列联表与独立性检验 复 习 概念复习 技巧复习 巩 固 考点一：数值变量与分类变量辨析 考点二：2×2列联表及应用 考点三：等高堆积条形图及应用 考点四：分类变量“相关的检验” 考点五：分类变量“无关的检验” 考点六：独立性检验的综合应用 提 升 难点一：实际问题的应用 难点二：独立性检验与分布列及期望的综合应用 难点三：独立性检验与频率分布直方图的综合应用 难点四：独立性检验与生活热点问题 难点五：独立性检验与统计的综合应用 难点六：独立性检验的综合问题 小测 单选：共6题 多选：共2题 填空：共2题 解答：共3题 一、复习 【概念复习】 1．分类变量与列联表 (1)分类变量：用以区别不同的现象或性质的一种特殊的随机变量，称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示，例如，学生所在的班级可以用1,2,3等表示，男性、女性可以用1,0表示，等等。本节我们主要讨论取值于{0,1}的分类变量的关联性问题. (2)2×2列联表：在实践中，由于保存原始数据的成本太高，人们经常按研究问题的需要，将数据分类统计，并做成表格加以保存，我们将下表这种形式的数据统计表称为2×2列联表. X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d (3)等高堆积条形图：将列联表中的数据用高度相同的两个条形图表示出来，其中两列的数据分别对应不同的颜色，这就是等高堆积条形图. 等高堆积条形图可以展示列联表数据的频率特征，能够直观地反映出两个分类变量间是否相互影响. 2．独立性检验 (1)零假设：设X和Y为定义在Ω上，取值于{0,1}的成对分类变量。由于{X＝0}和{X＝1}，{Y＝0}和{Y＝1}都是互为对立事件，故要判断事件{X＝1}和{Y＝1}之间是否有关联，需要判断假定关系H0：P(Y＝1|X＝0)＝P(Y＝1|X＝1)是否成立.通常称H0为零假设或原假设. (2)χ2的计算公式：χ2＝. (3)χ2独立性检验：用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验。 (4)基于小概率值α的检验规则：当χ2≥xα时，我们推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2<xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立。(其中xα为α的临界值) χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (5)应用独立性检验解决实际问题包括的主要环节： ①提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释. ②根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较. ③根据检验规则得出推断结论. ④在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律. 【技巧复习】 1.数值变量的取值为实数，其大小和运算都有实际含义. 2.分类变量是用随机变量区别不同的现象或性质，分类变量的取值可以用实数表示，变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，没有大小和运算意义. 3.作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别.计算时要准确无误. 4.利用2×2列联表分析两个分类变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列联表，然后根据频率特征，即将与的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，但方法较粗劣. 5.利用等高堆积条形图判断两个分类变量是否相关的步骤： 6.分类变量χ2独立性检验的步骤： (1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释. (2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值. (3)查临界值，结合所给小概率值α，比较χ2与xα的大小. (4)根据检验规则得出结论. 7.独立性检验的关注点 (1)步骤：列表，计算，比较χ2与临界值χα的大小，判断. (2)注意两点：①χ2计算公式较复杂，一是公式要清楚；二是代入数值时不能张冠李戴；三是计算时要细心.②判断时把计算结果与临界值比较，其值越大，有关的可信度越高. 二、巩固 【考点一】数值变量与分类变量辨析 【典例】下列不是分类变量的是(　　) A.近视 B.成绩 C.血压 D.饮酒 【解析】近视变量有近视与不近视两种类别，血压变量有异常、正常两种类别， 饮酒变量有饮酒与不饮酒两种类别.成绩不是分类变量，它的取值不一定有两种.故选B. 【变式】下列变量中不属于分类变量的是(　　) A.性别 B.吸烟