8.4 三元一次方程组-2022-2023学年七年级数学下册同步重难点精讲精练培优讲义（人教版）

2022-2023学年人教版数学七年级下册同步重难点精讲精练培优讲义 8.4 三元一次方程组 1．理解三元一次方程(或组)的含义； 2．会解简单的三元一次方程组； 3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题. 考点01：三元一次方程及三元一次方程组的概念 1.三元一次方程的定义 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程． 知识要点： (1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次． (2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零． 2．三元一次方程组的定义 一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 知识要点： (1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可． （2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解． 考点02：三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的一般步骤 (1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； (4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 知识要点： （1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是： （2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法． 考点03：三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤 1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； 2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系； 3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； 4．解这个方程组，求出未知数的值； 5．写出答案(包括单位名称)． 知识要点： (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 【典例分析01】（2023春·七年级单元测试）解方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】（1）利用加减消元和代入消元法解方程即可； （2）利用加减消元和代入消元法解方程即可； （3）利用代入消元法解方程即可； （4）利用加减消元法解方程即可． 【规范解答】（1）解：， ①②得： ④， 把③代入④得： ， 解得：， 把代入③得： ， 把，代入①得： ， 解得：， 原方程组的解为：； （2）解： 得： ， ∴， 由②得：④， 将④代入①得： ， 解得：， 将，代入④得： ， ∴原方程组的解为：； （3）解：， 由①得 ④， 由②得 ⑤， 把④、⑤代入③得：， 解得 ， 把代入④得 ， 把代入⑤得， ∴； （4）解： ，得， ，得， 解方程组 ， 解得， 把代入①，得， 所以原方程组的解为 ． 【考点评析】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． 【变式训练01】（2022春·广东湛江·七年级校考期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点坐标为，、、满足． (1)请用含的式子表示和； (2)若，求点的坐标． 【变式训练02】（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）若，和有公共解，则的值是___________ 【变式训练03】（2023春·七年级课时练习）解方程组 【典例分析03】（2022春·全国·七年级假期作业）在刚刚结束的端午节中，商家为了实现销售额提升拓展途径．某商家推出了三种礼盒进行售卖，某商家将甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋共个，搭配为，，三种礼盒各一个，其中盒中有个甜味粽，个肉馅粽，个咸鸭蛋；盒中甜味粽与咸鸭蛋的数量之和等于肉馅粽的数量，甜味粽与咸鸭蛋的数量之比为；盒中有个甜味粽，个肉馅粽，个咸鸭蛋．经核算，盒的成本为元，盒的成本为元（每种礼盒的成本为该盒中甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋的成本之和），则盒的成本为______元． 【答案】 【思路点拨】根据题意确定礼盒各种物品的数量，设出三种物品的价