专题 方程思想在勾股定理中的应用-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学下册同步精讲精练(人教版)

八年级下册数学《第十七章 勾股定理》 专题 方程思想在勾股定理中的应用 题型一 利用直角三角形三边的和差倍分关系求边长 【例题1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知a：b＝3：4，c＝10，则△ABC的面积为（　　） A．24 B．12 C．28 D．30 【变式1-1】直角三角形的斜边为20cm，两直角边之比为3：4，那么这个直角三角形的周长为（　　） A．27cm B．30cm C．40cm D．48cm 【变式1-2】在△ABC中，∠C＝90°，a+c＝32，a：c＝3：5，则△ABC的周长为 　 　． 【变式1-3】（2022春•天门校级月考）一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则该三角形的面积为（　　） A．8 B．10 C．24 D．48 【变式1-4】已知直角三角形的斜边为2，周长为．则其面积是（　　） A． B．1 C． D．2 【变式1-5】（2022秋•遂川县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，，AB＝3AC，求AC的长． 【变式1-6】（2022春•虞城县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的边分别为a、b、c， （1）若a：b＝3：4，c＝15，求a，b的值． （2）若c﹣a＝4，b＝16，求a的值． 【变式1-7】如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD＝1，，则BC的长为 　 ． 【变式1-8】（2021秋•重庆期中）如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，△ABD是等腰三角形，AB＝BD＝4，CB⊥BD，交AD于E，BE＝1，则AC＝　 　． 【变式1-9】（2021春•盘龙区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（　　） A．3 B．5 C．2.4 D．2.5 【变式1-10】（2021秋•建湖县期末）如图，在△ABC中；AB＝AC，BC＝13，D是AB上一点，BD＝5，CD＝12． （1）求证：CD⊥AB； （2）求AC长． 题型二 利用公共边相等结合勾股定理列方程求长度 【例题2】（2022秋•南京期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于点D，AB＝17，AC＝10． （1）若CD＝6，则AD＝　 ，BD＝　 ； （2）若BC＝20，求CD的长． 【变式2-1】如图，在锐角△ABC中，已知AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD⊥BC于D点，求AD的长． 【变式2-2】已知在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣AE2＝AC2． （1）求∠A的度数； （2）若DE＝3，BD＝4，求AE的长． 【变式2-3】如图，在△ABC中，AC，BC＝13，AD、CE分别是△ABC的高线与中线，点F是线段CE的中点，连接DF，若DF⊥CE，则AB＝（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式2-4】（2021秋•浑南区期末）如图，四边形ABCD，AB⊥BC，AB∥CD，AB＝BC＝4，CD＝2，点F为BC边上一点，且CF＝1，连接AF，DG⊥AF垂足为E，交BC于点G，则BG的长为 　 ． 【变式2-5】如图，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AD＝24cm，BC+CD＝34cm，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？ 【变式2-6】（2022秋•南海区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝2，AD⊥BC，垂足为D． （1）求证：∠B＝2∠CAD． （2）求BD的长度； （3）点P是边BC上一点，且点P到边AB和AC的距离相等，求点P到边AB距离． 题型三 翻折问题中的方程思想 【例题3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D为AC上一点，将△ABD沿BD折叠，使点A恰好落在BC上的E处，则折痕BD的长是（　　） A．5 B． C．3 D． 【变式3-1】如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（　　） A．cm B．cm C．cm D．无法确定 【变式3-2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，延长BC至E，使得CE＝BC，将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，连接DE，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（﹣3，0），连接AB．将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在