2022-2023学年高二物理竞赛课件：玻色分布和费米分布

玻色分布和费米分布 1 2 一、玻色分布 玻色系统 (N>>1，nm>>1，ωm>>1) 玻色分布和费米分布 3 2.玻色系统 N个粒子不可分辨，可认为是量子全同粒子，且每个个体量子态容纳的粒子数不受限制。 能级εm非简并。由于粒子不可分辨，在任一能级上nm个粒子的分布只有一种方式。 能级εm简并。简并度为ωm，nm个粒子在ωm个不同量子态上的分布方式就象nm个相同的球在ωm个盒子中的分布一样。 4 计算nm个粒子占据m上m个量子态的可能方式。 用小格代表量子态，用小圆圈代表微观粒子，将最左方固定为量子态1。 小方格和小圆圈的可能组合数（nm+ m -1）!。 由于粒子的不可分辨，扣除粒子之间的相互交换数nm!，和量子态之间的相互交换数(m -1)! 5 能级εm的微观状态数为 ： 各能级的结果相乘，得玻色系统与分布{nm}相应的微观状态数为： （Bose-Einstein） 6 费米系统 N个粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。 nm 个粒子占据εm上的ωm个量子态，相当于从ωm个量子态中挑选nm个来为粒子所占据（ωm≥ nm ）, 共有 可能方式。 各能级的结果相乘，得费米系统与分布{nm}相应的微观状态数为： （Fermi-Dirac） 7 经典极限条件 如在玻色系统和费米系统中，任一能级上的粒子数均远小于该能级的量子态数，即 称经典极限条件(也称非简并条件),即在所有能级上，粒子数都远小于量子态数。 意味着，平均而言，处在每一个量子态上的粒子数均远小于1。 8 在满足经典极限条件下，由于每个量子态上的粒子数远小于1，粒子间的关联可忽略，全同性的影响只表现在因子1/N!上。 8 Guanlian :事物相互之间发生牵连和影响 9 经典统计中的分布和微观状态数 系统在某一时刻的运动状态用N个粒子的坐标(qi1，qi2，…,qir)和动量(pi1,pi2,…,pir )确定,相应于d空间的N个点。 为计算微观状态数, 将qi 和 pi 分为大小相等的小间隔, 使 ，对于具有r个自由度的粒子, 相应于d空间中的一个相格。 假使h0足够小, 就可以由粒子运动状态代表点所在的相格确定粒子的运动状态。处在同一相格的代表点, 代表相同的运动状态。 10 将 d 空间划分为许多体积元 (m=1,2,…) ， 以 表示运动状态处在 的粒子所具有的能量, N个粒子处在各 的分布可描述如下: 体积元 简并度 能量 粒子数 经典统计中与分布 {nm} 对应的微观状态数，参照玻尔兹曼系统得 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 11 最可几分布 微观状态数出现最多（概率最大）的分布，是最具代表性的分布。 根据等几率原理，微观状态数最多的分布出现的几率最大。 最可几分布的两个重要特点： 1.当粒子数目很大时，其它分布中的微观状态数与之相比可以忽略； 2.最可几分布中的任一微观状态出现的几率最小，且随体系粒子数目的增多而进一步减小。 12 玻尔兹曼分布 M-B系统中最可几分布，称玻尔兹曼分布。 斯特令公式：lnm！=m（lnm-1），（m>>1） M-B系统中的最可几分布是使ΩM.B为极大的分布。lnΩM.B随ΩM.B的变化是单调的，可等价讨论使lnΩM.B为极大的分布。 13 使lnM.B为极大的分布{nm} ，必使lnM.B=0 注：这些nm不完全独立，它们满足一定条件。 N>>1，考虑nm>>1，ωm>>1，利用斯特令公式 14 、 称拉格朗日未定乘子。 麦克斯韦-玻尔兹曼分布 14 最概然分布，即 15 , , 、 拉氏乘子、 由下两式确定 16 能级m有m个量子态，处在其中任何一个量子态的平均粒子数是相同的。 处在能量s的量子态s上的平均粒子数fs ， 17 思考题与习题 1.经典和量子方法对粒子运动状态描述的区别。 2.如何对系统微观运动状态进行描述。 3.什么是等概率原理？ 4.玻尔兹曼、玻色和费米分布各自适合什么系统？在满足经典极限的情况下，三种分布的关系。 P120，5.1、5.2、5.3 18 能级是简并的，一个能级对应于若干个波函数。 能级： ε1，ε2，…εm，…… 简并度：ω1，ω2，...ωm，…… 波函数：(ψ11，ψ12，… ψ1ω1)，(ψ21，ψ22，… ψ2ω2)…(ψm1，ψm2，… ψmωm)… 粒子数：n1， n2，… nm，……（m=1,2,3,…k