2022-2023学年高二物理竞赛课件：玻色统计应用-固体的内能及热容量

1 玻色统计应用-固体的内能及热容量 2 一、声子 德拜(Debye)于1912年在爱因斯坦的工作基础上完 成了他的定量理论。 固体中的振动与它内部的声波对应，振动的频率不 是一个固定的常数，与波长有关，且随波长有一个 分布。 仿热辐射的解决办法，把固体中的声波也量子化- 声子。振动对热容量的贡献变成声子气体的热容量 的问题。 3 固体可看作连续的弹性媒质，3N个简正振动是弹性媒质的基本波动，声子的总自由度数是3N, 满足 最大的圆频率D—德拜频率。 理论上，固体中的任意弹性波都可以分解为3N个简正振动的叠加，弹性波有纵波和横波两种形式。 纵波是膨胀压缩波，横波是扭转波。 4 对一定的波矢，其纵波有一种振动方式，即在传播方向上的振动；横波有两种振动方式，在垂直于传播方向的两个相互垂直的方向上振动。 用波矢和偏振标志3N个简正振动，vL、vT分别表示纵波和横波的传播速度(vL>vT)，它们的圆频率满足的关系 仿光子在到 + d的圆频率范围内可能的微观状态数，得简正振动数 5 二、纵波声子和横波声子 将简正振动的能量量子看作是一种准粒子，即声子。声子是玻色子，它的数目不守恒。 从粒子的观点讨论固体中原子的热运动。给定声波波矢k，则具有某一偏振的简正振动的能量表达式为 得纵波声子和横波声子的能量和动量关系 6 具有某一波矢和偏振的简正振动处在量子数为n的激发态，则相当于产生了具有某一准动量和偏振的n个声子。 不同的简正振动，具有不同的波矢和偏振，对应不同的声子。 简正振动的量子数可取零或任意正整数，处在某状态的声子数遵从玻色分布。 微观看平衡态下的各简正振动的能量不断变化，相当于各状态的声子不断被产生和消灭，因此声子数不守恒。 平衡态下声子气体的化学势为零。 7 声子气体对应的分布表达式 由上式得温度为T时处在能量为 的一个 状态上平均声子数为 在到 + d的圆频率范围内可能的声子数 8 三、内能和热容量 固体在到 + d的圆频率范围内的内能 引入变量 及 9 D称德拜温度，是物质的特征参数。可由热容量的数据定出，也可由弹性波在固体中的传播速度推算。 德拜函数 固体内能 1.高温下，x<<1，ey-1y 10 与经典统计相同结果。 2.低温下，x>>1，x 著名的德拜T3律。 11 (1)对非金属固体，德拜T3律与实验符合的好。 (2)对金属在3K以上也与实验符合的好，在3K以下符合的不好是因为模型中没有考虑自由电子对热容量的贡献。 (3)内能中没有考虑所有原子都位于平衡位置时原子间的相互作用能Uo，但它们对热容量没有贡献。 (4)对原子间存在很强相互作用的真实体系，系统的能量不能表达为单个粒子的能量之和。但如果将原子的3N个振子自由度变换为3N个近独立的简谐振动，问题就容易了。 进一步将简正振动的激发量子看成“准粒子”—声子，复杂的相互作用原子系统简化为“准粒子”的“理想气体”。 几点说明： 12 1.配分函数定义式、特性、物理意义及热力学函数的统计表达式（广义力、内能、熵），应用实例6.2.2、6.2.3。 2.了解麦克斯韦速度、速率分布函数的表达式，会求最可几速率、平均速率和方均根速率。 3.能量均分定理及*应用（已知能量表达式，计算平均能量） 4.双原子分子能量表达式的各项意义，会求双原子分子理想气体平动配分、振动配分函数，并由此求内能、热容量。 5.了解爱因斯坦模型；掌握玻尔兹曼关系。 13 1.热力学函数的统计表达式（广义力、内能、熵。 2.会求体积V内，-+d的能量范围内，平均电子数。 3.会求温度T→0下费米系统的费米能级、内能和压强，掌握T→0及T>0时f与e的关系。 4.绝对零度下理想费米、玻色气体性质的差异。 5.了解德拜模型和玻色—爱因斯坦凝聚。 $