2022-2023学年高二物理竞赛课件：费米统计应用—金属自由电子

1 费米统计应用— 金属自由电子 2 用自由电子能很好解释金属的良好导电和导热特性，但经典统计理论在处理金属中自由电子的热容量时碰到了困难。 实验发现，极低温度下，金属中的自由电子的热容量与离子振动的热容量相比较，不可忽略。 经典统计对金属中的自由电子不适用是因为它不满足非简并条件 (e>>1 或 )，必须用量子统计。 以金属中的自由电子气体为例，讨论强简并 (e<<1 或 )下，费米气体特点。 3 一、强简并自由电子气体 自由电子模型: 把价电子看作是处在一个恒定势阱中的自由电子，是一个简化模型。 金属中自由运动的电子可认为是近独立粒子,电子的集合称自由电子气体。 将电子质量m=9.1×10-31kg，及其它物理常数带入 得 3 自由电子遵丛费米分布，h=6.62610-34, k=1.38 10-23 4 对金属铜，T=300K时，密度为8.9g·cm-3，原子量为63，如果一个铜原子贡献一个电子，则 常温下铜金属中的自由电子形成强简并的费米气体。 4 n=8.51028cm-3 5 二、温度T →0情况下费米系统的性质 1.费米分布和费米能级 时用F-D分布计算热力学函数复杂，但T0时问题可简化。 电子自旋在其动量方向的投影有两个可能值，体积V内， - +d 的能量范围内，电子的量子态数为 一个量子态上平均电子数为 6 体积V内， - +d 的能量范围内，平均电子数： 在给定电子数N、温度T、体积V时，化学势由下式确定： 结论：f是温度T和电子密度N/V的函数。 7 f 1 0  f(0) 在T=0K时 由 7 意义：在T=0时，在 <(0)的每一量子态上平均电子数为1。 在 >(0) 的 每一个量子态上平均电子数为0。即在0k时电子将尽可能占据能量最低的状态。 8 金属中的电子在0K时尽可能占据能量低的状态。 但由于泡利不相容原理限制，每个量子态最多容纳一个电子。电子从ε=0依次填充到μf(0)为止。 μf(0)是0K时电子的最大能量，称作费米能级。 9 费米动量是T=0K时电子的最大动量。 在μf(0)以下的状态就是在动量空间以 Pf=[2mμf(0)]1/2为半径的球内的状态。 球称为费米球，球面称为费米面。 10 电子气体的内能 费米速率: 费米温度： Cu的TF为8.2×104K。 电子平均内能： μ(0)=1.1210-18J。 11 电子气体的压强常称为简并压强，是一种与热运动无关的压强，它是费米系统所特有的。 当 (1) (2) , , 如铜的电子气体压强P(0)1010Pa，是一个极大的值。是泡利不相容原理和电子气体具有高密度的结果. 这个巨大的简并压在金属中被电子与离子的静电引力所补偿。（n=8.51028cm-3） 11 12 2.绝对零度下理想费米、玻色气体性质的比较 理想费米气体的费米能量、费米动能、费米速度和费米压强在绝对零度下均不为零，只有熵为零。 理想玻色气体的能量、动量、速度、压强和熵在绝对零度下为零。 12 玻尔兹曼关系，状态数为1 13 得T>0时自由电子的分布 1 f  f（0） 根据 3.温度T>0下的费米系统性质 (1)费米分布和热容量 $