4.4 数学归纳法 同步练习-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

《第四节*数学归纳法》同步练习 一、基础巩固 知识点1-数学归纳法的基本原理与步骤 1.[2022江西赣州高二下期中联考]用数学归纳法证明1号+5…卡<n(n=N，n>1) 时，第一步应验证不等式(） A.11_12_B1}+32 C.1}+|<3D.1号+3+4<3 2.[2022安徽池州东至二中高二]如果当n=k(k∈N)时，某个与正整数有关的命题成立， 那么可以推出当n=k+1时该命题也成立。已知m=5时该命题不成立，那么可以推得() A.当n=6时命题成立 B.当m=6时命题不成立 C.当n=4时命题成立 D.当n=4时命题不成立 3.[2022江西南昌高二上期末联考]用数学归纳法证明“赤+命…盐”的过程 中，从=k(k∈N)到=kt1时，不等式的左边增加的是(） C.D.癖+命+新 4.[2022辽宁沈阳二中高二下期中]用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x+y^n能被x +y整除”，当第二步假设n=2k-1(k∈N)命题为真时，进而需证=——时，命题亦真。 5.用数学归纳法证明去+与…+(m1>去而，假设n=k时，不等式成立，则当mk+1 时，应推证的目标不等式是_ 知识点2数学归纳法的简单应用 6.[2022河南南阳高二期中记数列{a}的前n项和为S_。已知S号+去-1，且a20。 (1)求a_1，a，as； (2)猜想数列{a，}的通项公式，并用数学归纳法证明。 7用数学归纳法证明：1×242×3243×+n2(3m4110,其中n∈心 8.证明：当n∈N*时，f(n)=32+2-8n-9能被64整除. 9.用数学归纳法证明：1+号≤1+片+青++京≤专+n(n∈N). 二、能力提升 L.(多选)对于不等式n2+n≤+1(n∈N),某同学运用数学归纳法的证明过程如下： ①当=1时，\sqrt{1}^32+1≤1+1，不等式成立，②假设当=k(k≥1，k∈N)时，不等式成立，即 k^2+k一—≤k+1，则n=k+1时， \sqrt{k}+1+(k+1)-\sqrt{K}+sk+2-\sqrt{k}+3k+2+(k+2)-\sqrt{k}+2)-a0+。 所以当n=k+1时，不等式成立。上述证法(） A.过程全部正确 B.n=1时证明正确 C.过程全部不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 2.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(&)≥k+1成立时，总有f(k+1) ≥k+2成立则下列命题总成立的是(） A.若f(1)2成立，则f(10)<11成立 B.若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k+1成立 C.若f(2)<3成立则f(1)≥2成立 D.若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k+1成立 3.(多选)如果命题p(n)对n=k(k∈N)成立，则它对n=k+2也成立。则下列结论正确的是 （） A.若p(α)对n=1成立，则p(n)对所有正整数都成立 B.若p(n)对n=2成立，则p(n)对所有正偶数都成立 C.若p(n)对n=1成立，则p(n)对所有正奇数都成立 D.若p(n)对n=2成立，则p(n)对所有自然数都成立 4.[2022辽宁沈阳东北育才学校高二下期中]记S_，为数列{a}的前n项和，已知S_a=n （1)求数列{a}的通项公式； (2)用数学归纳法证明：若·带…>2n+1. 5.[2022河南南阳高二下期中]如图，P(x1,y),P2(x2,y2),…,P(xmy)(0<y1<y2<…< y)(m∈N)是曲线C:y=3x(y≥0)上的n个点，点A:(a,0)(i=1,2,3,…,)在x轴的正半 轴上，且△A-1AP:是正三角形(A是坐标原点). P y=3x O(AA A2 (1）写出a,a2,a,a4: (2)猜想点An(a,0)的横坐标an关于n的表达式，并用数学归纳法证明. 参考答案 一、基础巩固 1.B由题意得，当2时，不等式为1+与+吉2.故选B. 2.D假设当4时命题成立，则可以推出当5时该命题也成立，与5时命题不成立 矛盾，所以当4时命题不成立，故选D. 3.B假设Fk(k∈N)时不等式成立，左边=本十++绿，则当+1时，左边-本 ++家十歌本十中十+，所以从严k(k∈門到mk1时，不等式的左边增加的是 中十十衣南本=本十中.故选B, 4.2k+1解析因为n为正奇数，且与2k-1相邻的下一个奇数是2+1，所以需证厂2k +1时，命题亦真. 5京+京中可十中响>病 6.解析()当1时，a=S号+云1，整理得a+2a10,因为a,>0,所以a2-1: 当r2时，5Sa+a号+安：-1，整理得a好t22ag10,所以a5-V反： 当mr3时，Sa+ata号+安g1,整理得a写+2510，所以a2V5 (②)由()猜想a√n+1-√a,neN.