专题13 计数原理、随机变量及其分布列- 【中职专用】中职高考数学二轮复习专项突破（山东适用）

专题13 计数原理、随机变量及其分布列 课堂笔记 计数原理 1.分类计数原理（或加法原理）：完成一件事，有n类方式，在第1类方式有种不同的方法，在第2类方式有种不同的方法……第n类方式中有种不同的方法，那么完成这件事的方法种数为N＝ 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，完成第1个步骤有种方法，完成第2个步骤有种方法……完成第n个步骤有种方法，那么完成这件事的方法种数为N＝ 排列与排列数计算 1．一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，用表示，m<n时叫做选排列，m=n时叫做全排列. 2.排列数公式的两种形式 (1)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n. (2) (3)＝. 组合与组合数计算 1．组合 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． 3.组合数公式的两种形式 （1）C＝，其中m，n∈N*，并且m≤n （2）C＝ 4.组合数的性质 性质1：C＝C. 性质2：C＝C＋C. 排列与组合的应用举例数 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 关系 组合数C与排列数A间存在的关系 ＝C 二项式定理 1.二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)． (1)这个公式叫做二项式定理． (2)二项展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 2.二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 3.二项式系数的性质 （1）每一行的两端都是1，其余的每个数都是它“肩上”两个数的和。 （2）每一行与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C （3）当n为偶数时，它的展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，它的展开式中间两项的二项式系数最大并且相等. 离散型随机变量 1．随机变量的概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 2．随机变量的表示：用小写希腊字母等表示，（或用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z） 3.离散型随机变量 随机变量的所有可能取的值可以一一列出的随机变量，我们称之为离散型随机变量． 4.连续型随机变量 有一类随机变量，其所取值不能一一列出，而是连续的充满整个区间，这种随机变量称之为连续型随机变量． 5.离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 6.离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1,2，…，n. (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 离散型随机变量的数字特征 1．离散型随机变量的均值 一般地，若离散型随机变量的分布列为 x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E()x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望 2.离散型随机变量的方差 D()＝(x1－E())2p1＋(x2－E())2p2＋…＋(xn－E())2pn为随机变量的方差， 3.离散型随机变量的方差 为随机变量X的标准差 独立重复试验及其概率 1.n次独立重复试验：一般地，在相同的条件下，重复进行n次试验，如果每次试验的结果与其他各次试验的结果无关，那么这n次重复试验叫做n次独立重复试验. 2.n次伯努利实验：一般地,在n次独立试验中,如果每次试验的可能结果只有两个,且它们相互对立，即只考虑两个事件A和，并且在每次试验中，事件A发生的概率都不变，这样的n次独立试验叫做n次伯努利试验. 3.伯努利公式： 二项分布 1.二项分布 一般地，如果在一次试验中某事件A发生的概率是p，随机变量ξ为n次独立试验中事件A发生的次数，那么随机变量ξ的概率分布为: 其中. 我们将这种形式的离散型随机变量ξ的概率分布叫做二项分布.并称随机变量ξ服从参数为的二项分布,记为 2.二项分布的均值与方差 若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 正态分布 1.概率密度曲线 样本容量增大，