专题18.2 特殊的平行四边形-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学下册同步精品讲义（人教版）

专题18.2 特殊的平行四边形 1．了解矩形、菱形、正方形的概念，掌握矩形、菱形、正方形的特殊性质（边、角、对角线）； 2．能利用矩形、菱形、正方形的性质解决相关的计算和证问题； 3. 理解并掌握矩形、菱形、正方形的判定定理，并能运用其判定解决相关的证明和计算问题； 4. 能利用矩形的性质证明:直角三角形斜边中线等于斜边的一半。 5. 探究菱形面积的多种求法。 6. 了解正方形与矩形、菱形、平行四边形之间的联系与区别； 知识点01 矩形的性质与判定 【知识点】 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形 矩形的性质，从边、角、对角线、对称性进行讨论。如下图，四边形ABCD为矩形： 1）边：①对边平行；②对边相等，即AD∥DC，AB∥DC；AD=BC，AB=DC 2）角：四个角都是90°，即∠A=∠B=∠C=∠D=90° 3）对角线：①对角线相等；②对角线相互平分，即AC=BD；AO=BO=CO=DO 4）对称性：轴对称图形；中心对称图形 5）重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即如上图，如∠A=90°，点O为斜边BD的中点，则AO=BD（或AO=OB=OD） 矩形是特殊的平行四边形，常见的判定思路：平行四边形+矩形的一个特殊性质，具体如下： 1）判定方法1（定义）：平行四边形+1个角是90°； 2）判定方法2（角）：有3个角是直角的四边形，即∠BAB=∠ABC=∠BCD=90°； 3）判定方法3（对角线）：平行四边形+对角线相等，或对角线相等且相互平分。 【知识拓展1】矩形的相关性质 例1．（2022·云南楚雄·九年级统考期中）下列关于矩形的说法中正确的是（     ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．矩形的对角线相等且互相平分 C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．对角线互相平分的四边形是矩形 【答案】B 【分析】根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误； B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确； C、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定的应用，能熟记矩形的性质和判定定理是解此题的关键． 【即学即练】 1．（2022·河南洛阳·统考二模）关于矩形的性质，以下说法不正确的是（　　） A．邻边相互垂直 B．对角线相互垂直 C．是中心对称图形 D．对边相等 【答案】B 【分析】根据矩形的性质逐一判断即可． 【详解】解：A．矩形的邻边相互垂直，说法正确，故本选项不合题意； B．矩形的对角线相等，但不相互垂直，原说法错误，故本选项符合题意； C．矩形是中心对称图形，说法正确，故本选项不合题意； D．矩形的对边相等，说法正确，故本选项不合题意；故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质定理，熟记矩形的性质是解题的关键． 【知识拓展2】利用矩形的性质求角度、长度（面积） 例2．（2022·吉林松原市·九年级一模）如图所示，点是矩形的对角线的中点，点为的中点．若，，则的周长为（ ） A．10 B． C． D．14 【答案】C 【分析】易知OE是中位线，则，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得，在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC＝10，根据矩形性质可求BO＝5，从而求出△BOE周长． 【详解】点是矩形的对角线的中点，点为的中点， ∴，，∴． 在中，利用勾股定理求得． 在中，利用勾股定理求得，∴． ∴的周长为．故选C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、以及勾股定理和中位线的性质，解题的技巧是把所求三角形的三条线段分别放在不同的三角形中求解长度． 【即学即练】 1．（2022·重庆市初三期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点A作AE⊥BD于点E，已知∠EAD＝3∠BAE，则∠EOA＝______°． 【答案】 【分析】由已知条件可先求得，在Rt△ABE中可求得，再由矩形的性质可得OA=OB，则可求得，即可求得结果； 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴，OA=OB， ∵∠EAD＝3∠BAE，∴，∴， ∵AE⊥BD，∴， ∴，．故答案是． 【点睛】本题主要考查了利用矩形的性质求角度，准确利用已知条件是解题的关键． 2．（2022·河南初三期末）如图,在矩形ABCD中,BC=2,AE⊥BD,垂足为E,∠BAE=30°,那么△ECD的面积是　（ ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，先求Rt△AED的面积，再证明△ECD的面积与它相等． 【解析】 如图：过点C作CF⊥BD于F.∵矩形ABCD中，BC=2，AE⊥BD，∠BAE=3