9.4.5 正方形的性质与判定 讲义 2022—2023学年苏科版数学八年级下册

9.4.5 正方形的性质与判定 知识点梳理 知识点一、正方形的定义 定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 注意：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 知识点二、正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 注意：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 知识点点三、正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 知识点四、平行四边形与特殊平行四边形之间的关系 知识点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 注意：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 模拟演习 例1. 如图，在正方形ABCD中，点A'、B'、C'、D'分别在AB、BC、CD、DA上，且AA'=BB'=CC'=DD'. 求证:四边形A'B'C'D'是正方形. 基础练习 1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直且相等 2.下列说法不正确的是（ ） A. 一组邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 3. 如图，P为 AB上任意一点，分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF.设∠CBE=α ，则∠AFP为（ ） A. B. C. D. （第3题） （第5题） 4. 已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是________.(只填一个即可). 5. 如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E.若∠CBF=20°，则∠AED=________°. 6. 如图，正方形 ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为点E、F.若正方形ABCD的周长为8cm，则四边形 EBFP的周长为_______cm. 7. 如图，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE=CF. (1)求证:四边形BEDF是菱形; (2)若AC=4，AE=CF=1，求四边形BEDF的周长. 8. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N. (1)求证:∠ADB=∠CDB; (2)若∠ADC=90°，求证:四边形MPND是正方形. 巩固练习 9. 如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点О作ON⊥OM，交CD于点N.若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 10. 如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在边AB、CD上， ∠EFD=60°.若将四边形 EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 2 （第10题） （第11题） 11. 以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是________. 12. 如图，正方形ABCD的面积是2，E、F、P分别是AB、BC、AC上的动点，PE +PF的最小值为________. 13. 如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，