10.3几个三角恒等式-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（苏教版2019必修第二册）

10.3几个三角恒等式 题型1 辅助角公式 2 ◆类型1辅助角公式 2 ◆类型2化简求值 3 ◆类型3辅助角公式的运用 3 题型2 半角公式的应用 5 题型3 积化和差公式的应用 6 题型4 和差化积公式的应用 7 题型5 凑角求值 8 ◆类型1给值求值型 9 ◆类型2给值求角型 9 题型6 恒等式证明 10 题型7 实际应用 12 知识点一.半角公式 sin ＝±， cos ＝±， tan ＝±＝＝. 知识点二.积化和差与和差化积公式 1． 积化和差： ①； ②； ③； ④； 2． 和差化积： ①； ②； ③； ④； 知识点三.辅助角公式： 函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)（其中）或f(α)＝·cos(α－φ)（其中） 证明过程：asin α＋bcos α= 令，, asin α＋bcos α== =sin(α＋φ) 题型1 辅助角公式 【方法总结】常见辅助角结论 (1);（2）; (3);（4）; ◆类型1辅助角公式 【例题1-1】用辅助角公式化简下列各式： （1） ； （2）； （3）； （4）； （5）； 【变式1-1】（2023秋·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校考期末）已知，则（    ） A． B． C． D． ◆类型2化简求值 【例题1-2】化简求值：(1)tan 70°cos 10°(tan 20°－1)； (2)－sin 10°(－tan 5°);（3）； （4）； 【变式1-2】（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）若，则下列可能是的值的是（    ） A．20° B．40° C．50° D．70° ◆类型3辅助角公式的运用 【例题1-3】（2022秋·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）该函数的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【变式1-3】1.（2023秋·江苏无锡·高一江苏省江阴高级中学校考期末）已知函数的定义域为，值域为[-1,]，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】2．(多选)（2022春·江苏徐州·高一统考期中）已知函数的周期为，当时，的（    ） A．最小值为 B．最大值为 C．零点为 D．增区间为 【变式1-3】3．（多选）（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，则实数的值可以为（    ） A．－ B． C． D． 【变式1-3】4．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）等式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】5．（2021春·江苏常州·高一常州市第一中学校考阶段练习）函数，若的最大值和最小值是____． 【变式1-3】6．（2022秋·江苏常州·高一校考期末）已知函数的最大值为1. (1)求实数a的值； (2)若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值. 【变式1-3】7．（2022秋·吉林长春·高一东北师大附中校考期末）已知函数. (1)常数ω＞0，若函数y=f（ωx）的最小正周期是π，求ω的值. (2)若，且方程在上有实数解，求实数α的取值范围. 【变式1-3】8．（2022秋·广东广州·高一校考期末）设. (1)求的值及的单调递增区间； (2)若，，求的值. 题型2 半角公式的应用 【方法总结】 （1） 当给出角α的范围（某一区间）时，可先确定角的范围，再确定各函数值的符号。 （2） 若没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号。 （3）对于，，∈R，而对于，要注意α≠（2k＋1）π。 【例题2】（2022·高一课时练习）利用半角公式，求的值． 【变式2-1】1．(多选)（2022春·江苏镇江·高一统考期末）tan75°＝（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】2．（2022·高一课时练习）已知，，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式2-1】3．（2022春·甘肃酒泉·高一校考期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】4．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考期中）若，，则（    ）． A． B． C． D． 【变式2-1】5．（2022·高一课时练习）若，是第二象限角，则（    ） A． B．3 C．5 D． 【变式2-1】6．（2022·高一课时练习）化简：___________. 题型3 积化和差公式的应用 【方法总结】积化和差公式的巧记口诀 余余相乘余和加， 正正相乘余减反， 正余相乘正相加， 余正相乘正相减。 注意前提是（）在前面，在后面。 【例题3-1】（2022·高一课时练习）利用积化和差公式，求下列各式的值： (