专题1.2勾股定理精讲精练（12大易错题型深度导练）-2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【人教版】

2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍（人教版） 专题1.2勾股定理精讲精练（12大易错题型深度导练） 【目标导航】 【知识梳理】 1.勾股定理： （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么 （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有, , （4）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 2.勾股定理逆定理： （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 3.勾股定理的应用： ①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 【典例剖析】 考点1 勾股定理 【例1】）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．求AE的长． 【分析】由勾股定理先求出BC＝6，连接BE，根据中垂线的性质设AE＝BE＝x，知CE＝8﹣x，在Rt△BCE中由BC2+CE2＝BE2列出关于x的方程，解之可得答案． 【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10， ∴BC6， 连接BE， ∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， 设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x， 在Rt△BCE中，∵BC2+CE2＝BE2， ∴62+（8﹣x）2＝x2， 解得x， ∴AE． 【变式训练】 1．（2022春·内蒙古锡林郭勒盟·八年级校考期末）已知直角三角形一个锐角，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半求得30°所对的直角边，然后利用勾股定理求得另一条直角边，即可解答． 【详解】解：如图所示， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴此三角形的周长是． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理和含30°角的直角三角形，熟悉直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．熟练运用勾股定理是关键． 2．（2023·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考期末）在中，，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】在中，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， 解得：， 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形中的表示形式． 3．（2022春·广东河源·八年级校考期末）如图，中，，，，平分，则点到的距离是（       ） A．3 B．4 C．2 D． 【答案】A 【分析】过点作于点，由勾股定理可得，根据角平分线的性质定理可推导，再证明，易得，设，在中，由勾股定理可解得，即可获得答案． 【详解】解：过点作于点，如下图， ∵，，， ∴， ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理可得， 即，解得， ∴，即点到的距离是3． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理解直角三角形、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和角平分线的性质定理是解题关键． 考点2勾股定理与数轴 【例2】利用勾股定理可以在数轴上画出表示的点，请依据以下思路完成画图，并保留画图痕迹： 第一步：（计算）尝试满足，使其中a，b都为正整数，你取的正整数a＝　4　，b＝　2　； 第二步：（画长为的线段）以第一步中你所取的正整数a，b为两条直角边长画Rt△OEF，使O为原点，点E落在数轴的正半轴上，∠OEF＝90°，则斜边OF的长即为． 请在下面的数轴上画图：（第二步不要求尺规作图，不要求写画法） 第三步：（画表示的点）在下面的数轴上画出表示的点M，并描述第三步的画图步骤：　以原点为圆心，OF为半径画弧交数轴的正半轴于点M，则点M为所作　． 【分析】第