07 利用导数证明与函数有关的不等式 同步复习讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高二数学 同步复习讲义（人教A版（2019）） 07 利用导数证明与函数有关的不等式 ◇ 知 识 链 接 ◇ 构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明． 常见的构造方法有： （1）直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论， 如ln x≤x－1，ex≥x＋1，ln x＜x＜ex(x＞0)，≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)； （3）构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数； （4）构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解． ◇ 典 例 剖 析 ◇ 典例剖析01 作差法转化为一个函数的最值证明不等式 （1）证明： 2xln x＋1≤x2－x＋＋2ln x. （2）证明：当x≥1时，x－ ≥＋－1. 典例剖析02 拆分法转化为两个函数的最值证明不等式 （1）证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＋1>－成立． （2）证明： ex (ln x－x)－ex＋2ex≤0． （3）求证：当0<x≤2时， x2－(x＋1)ln x>x． 典例剖析03 适当放缩证明不等式 （1）已知函数f(x)＝aex－1－ln x－1．证明：当a≥1时，f(x)≥0． （2）已知函数f(x)＝aln(x－1)＋，其中a为正实数． 证明：当x>2时，f(x)<ex＋(a－1)x－2a. ◇ 小 试 牛 刀 ◇ 1．证明：xex－1－2x＋1≥0. 2．若x∈(0,1)，证明：x2－＜. 3．已知函数f(x)＝ex2－xln x．求证：当x>0时，f(x)<xex＋． 4．证明：ex－e2ln x>0． 5．已知函数f(x)＝ln x＋，a∈R. （1）讨论函数f(x)的单调性； （2）当a>0时，证明f(x)≥. 6．已知f(x)＝(1－x)ex－1. （1）求函数f(x)的最大值； （1）设g(x)＝，x＞－1且x≠0，证明：g(x)＜1. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 同步复习讲义（人教A版（2019）） 07 利用导数证明与函数有关的不等式 ◇ 知 识 链 接 ◇ 构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明． 常见的构造方法有： （1）直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论， 如ln x≤x－1，ex≥x＋1，ln x＜x＜ex(x＞0)，≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)； （3）构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数； （4）构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解． ◇ 典 例 剖 析 ◇ 典例剖析01 作差法转化为一个函数的最值证明不等式 （1）证明： 2xln x＋1≤x2－x＋＋2ln x. 【证明】x2－x＋＋2ln x－(2xln x＋1)＝x(x－1)－－2(x－1)ln x＝(x－1)， 令g(x)＝x－－2ln x，则g′(x)＝1＋－＝≥0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0， 所以当0<x<1时，g(x)<0，当x>1时，g(x)>0， 所以(x－1)≥0，即f(x)≤x2－x＋＋2ln x. （2）证明：当x≥1时，x－ ≥＋－1. 【证明】当x≥1时，x－ ≥＋－1⇔1－－－＋x≥0. 令h(x)＝1－－－＋x(x≥1)，则h(1)＝0， h′(x)＝－＋＋＋1＝＋＋1. 因为x≥1，所以h′(x)＝＋＋1>0，所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增， 所以h(x)≥h(1)＝0，即1－－－＋x≥0，所以当x≥1时，f(x)＋g(x)≥. 典例剖析02 拆分法转化为两个函数的最值证明不等式 （1）证明：对一