精品解析：上海市向明中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题

上海市向明中学2021-2022学年高二上期中数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 空间中，直线在平面上用集合语言表示__________． 2. 已知向量，且与互相垂直，则的值是__． 3. 在长方体中，若，，，则与平面所成的角可用反三角函数值表示为__． 4. 如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________ 5. 如图，平面，且，则异面直线与所成角的大小是__． 6. 已知点A，B到平面距离分别是4，6，则线段AB的中点M到平面的距离是_______. 7. 如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点，设三棱锥体积为，三棱柱的体积为，则_______ 8. 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，若点E、F分别是AB、AD的中点，则______． 9. 直线与平面所成角为，则与所成角的取值范围是________． 10. 已知正三棱柱底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达的最短路线的长为___________. 11. 如图所示，在中，，，.在三角形内挖去半圆（圆心O在边AC上，半圆与BC，AB相切于点C，M，与AC交于点N），则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为________. 12. 有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为，，，用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个三棱柱，则的取值范围是__． 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分） 13. “直线与直线没有交点”是“直线与直线为异面直线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知为两条不同的直线,为两个不同的平面,下列四个命题中正确的是（ ） A. 若且则 B. 若在上,且则 C. 若且在上,则 D. 若且外,则 15. 下列命题： ①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； ②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； ③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形； ④所有侧面都是全等矩形的四棱柱一定是正四棱柱． 其中正确命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 如图，P为正方体中与的交点，则在该正方体各个面上的射影可能是 A. ①②③④ B. ①③ C. ①④ D. ②④ 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17. 若圆锥的侧面积为，且母线与底面所成的角为，求该圆锥的体积. 18. 已知正三棱柱的底面边长为3cm，高为3cm，M、N、P分别是、、的中点. （1）用“斜二测”画法，作出此正三棱柱的直观图（严格按照直尺刻度）； （2）在（1）中作出过M、N、P三点的正三棱柱的截面（保留作图痕迹）. 19. 如图所示，正四棱锥底面的四个顶点，，，在球的同一个大圆上，点在球面上，且已知． （1）求球的表面积； （2）设为中点，求异面直线与所成角的大小． 20. 如图，四面体中，，． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求点到平面的距离． 21. 如图，是圆的直径，点是圆上异于、的点，直线平面，，分别为，的中点． （1）记平面与平面的交线为，试判断与平面的位置关系，并加以说明； （2）设（1）中的直线与圆的另一个交点为，且点满足，记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的锐角为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市向明中学2021-2022学年高二上期中数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 空间中，直线在平面上用集合语言表示为__________． 【答案】l⊂α 【解析】 【分析】利用直线在平面上，及元素与集合的关系符号、集合与集合的关系符号表达即可． 【详解】直线在平面上，用集合语言表示为l⊂α． 故答案为 l⊂α． 【点睛】本题考查了点、线、平面的位置关系的表示，点与直线的关系是元素与集合的关系，包括属于、不属于两种关系，直线和平面的关系是2个集合间的关系，包括真含于、不真含于两种关系． 2. 已知向量，且与互相垂直，则的值是__． 【答案】## 【解析】 【分析】两向量垂直，数量积为0，列方程求解. 【详解】因为与互相垂直，所以，解得． 故答案为： 3. 在长方体中，若，，，则与平面所成的角可用反三角函数值表示为__． 【答案】 【解析】 【分析】过点作的垂线，垂足为点，可证明平面，找到线面角，再利用几何关系求出结果. 【详解】 过点作的垂线，垂足为点，连接，在长方体中由，， 由长