5.3 导数在研究函数中的应用-2022-2023学年高二数学【知识梳理+题型探究+跟踪训练+达标检测】同步讲义系列（人教A版2019选择性必修第二册）

5.3　导数在研究函数中的应用 知识点一　函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 知识点二　利用导数判断函数的单调性的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求出导数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 知识点三　函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 知识点四　函数极值的定义 1．极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 知识点五　函数极值的求法与步骤 1．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)列表； (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 知识点六　函数最值的定义 1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． 知识点七　求函数的最大值与最小值的步骤 函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值； (2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【题型目录】 题型一、函数图象与导函数图象的关系 题型二、利用导数求函数的单调区间（不含参） 题型三、含参分类讨论求函数的单调区间 题型四、求函数的极值 题型五、由极值求参数的值或取值范围 题型六、利用函数极值解决函数零点(方程根)问题 题型七、不含参函数的最值问题 题型八、含参函数的最值问题 题型九、由函数的最值求参数问题 题型一、函数图象与导函数图象的关系 1．已知函数的导函数图象如下图所示，则原函数的图象是（    ） A． B． C． D． 2．已知上可导函数的图像如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（    ） A． B． C． D． 4．已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______. 题型二、利用导数求函数的单调区间（不含参） 5．函数的单调递减区间是（     ） A．（-∞，） B．（-2，-） C．（，2） D．（2，+∞） 6．写出函数的严格增区间：____________． 7．已知函数.求的单调区间． 题型三、含参分类讨论求函数的单调区间 8．已知函数，讨论的单调性． 9．已知函数．讨论函数的单调性. 10．设函数． (1)若曲线在点处的切线方程为，求； (2)求函数的单调区间． 题型四、求函数的极值 11．已知函数，则的极大值为________________ 12．已知函数，. (1)当时，求函数的极值； (2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 13．已知函数. (1)若在处的切线与直线3x－y＋1＝0平行，求a； (2)当a＝1时，求