第一次月考重难点特训（三）之勾股定理与特殊三角形结合的压轴题-2022-2023学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

第一次月考重难点特训（三）之勾股定理与特殊三角形结合的压轴题 【重难点题型】 1．（2021春·湖北荆门·八年级校考阶段练习）在中，，，、为上两点，，为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出③，再根据勾股定理以及等量代换即可得出④． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由①中证明， ∴， ∵，， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 设与的交点为， ∵，， ∴，， ∴，故③错误， ∵，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定定理以及等腰直角直角三角形的性质，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，难度较大． 2．（2022春·湖北武汉·八年级武汉市粮道街中学校联考期中）如图，在中，，为边上的高，为边的中点，点在边上，，若，，则边的长为（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作AB的中点M，连接ME，过F点作，首先证得是等边三角形，再证明，从而得到，利用勾股定理求得DF的长度，从而得到DE的长度，再根据在中E是中点，从而计算出BC的长度． 【详解】如下图所示，作AB的中点M，连接ME，过F点作，垂足为N 在中，M是中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵M、E为中点， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， 在中，E是中点， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考虑直角三角形、等边三角形、全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形、等边三角形、全等三角形的相关知识． 3．（2022秋·八年级课时练习）如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值；证出△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，得出∠N′OM′=90°，由勾股定理求出M′N′即可． 【详解】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示： 连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值． 根据轴对称的定义可知：，，∠N′OQ=∠M′OB=30°， ∴∠NON′=60°，， ∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形， ∴∠N′OM′=90°， ∴在Rt△M′ON′中， M′N′=． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键． 4．（2023秋·江苏宿迁·九年级南师附中宿迁分校校考期末）是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的一个动点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接PE、DE、CE，则周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，作关于的对称点，连接，根据对称性可得周长，当三点共线时，取得最小值，据此即可求解． 【详解】 将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE， △BPE是等边三角形， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC=4，∠BAC=∠ABC=60°， ∵AD⊥CB， ∴BD=CD=2，∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°， ∵∠PBE=∠ABC=60°， ∴∠ABP=∠CPE， ∵BA=BC，BP=BE， ∴△ABP≌△CBE（SAS）， ∴∠BAP=∠BCE=30°，AP=CE ∴点E的运动轨迹是射线CE（∠BCE=30°）， 如图，作关于的对称点，连接， ， ， 是等边三角形， 周长 当三点共线时，取得最小值，最小值为 故选A 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，线段和最短问题，勾股定理，求得点的轨迹是解题的关键． 5．（2023秋·浙江杭州·八年级校联考期末）如图，中，，于点D，平分，交与点E，于点F，且交于点G，若，则_____． 【答案】 【分析】过点B作于H，过点D作于K，过点E作于M，于N，连接，先证得，运用勾股定理可得，利用面积法可求得：，，，，，再运用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：如图，点B作于H，过点D作于K，过点E作于M，于N，连接 ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵，   ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴