6.4.1-6.4.2平面几何中的向量方法及向量在物理中的应用举例（讲+练）-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步讲练测（人教A版2019必修第二册）

6.4.1-6 .4.2平面几何中的向量方法及向量在物理中的应用举例 目 录 速 览 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 第二部分：必会技能常考题型及思想方法 第三部分：配套必刷好题 必会题型一：用向量数量积及夹角问题 必会题型二：向量与几何长度最值 必会题型三：向量在几何及物理中的应用 必会题型四：向量的应用综合 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 必会知识一 向量在平面几何中的应用 1．向量在平面几何中常见的应用 (1)证明直线平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：． (2)证明直线垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件： (其中为非零向量)． (3)求夹角问题，若向量与的夹角为，则求夹角的余弦公式：(其中为非零向量)． (4)求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模长公式： [其中或[其中两点的坐标分别为． (5)对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决几何问题． 2．用向量方法解决平面几何问题的步骤 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 必会知识二 向量在物理中的应用 向量的定义有着丰富的物理背景，物理学中的位移、力、速度等都是既有大小又有方向的量，力所做的功就是向量的数量积的物理背景．因此，利用向量可以解决一些物理问题． 1．向量在物理中的应用 (1)向量与力 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力的三要素是大小、方向和作用点，所以用向量知识解决力的问题时，通常要把向量平移到同一作用点上． (2)向量与速度、加速度及位移 速度、加速度及位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算．解决速度、加速度和位移等问题时，常用的主要知识是向量的加法、减法及数乘运算，有时也借助坐标运算来处理． (3)向量与功、动量 力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是表示力和位移的两个向量的数量积，(为和的夹角)．动量实际上是数乘向量． 2．用向量讨论物理学中相关问题的步骤 (1)问题的转化：把物理问题转化成数学问题． (2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型． (3)参数的获取：求出数学模型的解． (4)问题的答案：回到物理现象中，用已经获取的数值去解释相应的物理现象． 第二部分：必会技能常考题型及思想方法纳 必会题型一：用向量数量积及夹角问题 1．（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．[多选]（2022·湖南郴州·安仁县第一中学校考模拟预测）下列说法正确的是（   ） A． B．非零向量和，满足且与同向，则 C．非零向量满足 D．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 3．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，动点位于直线上，当取得最小值时，的正弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·全国·高一假期作业）如图，在等腰梯形中，，则（    ） A． B． C． D． 5．[多选]（2022·全国·高一专题练习）在中，D，E分别是线段BC上的两个三等分点（D，E两点分别靠近B，C点），则下列说法正确的是（    ） A． B．若F为AE的中点，则 C．若，，，则 D．若，且，则 6．（2022·高二课时练习）如图，在中，已知，，，，，线段AM，BN相交于点P，则的余弦值为___________. 7．（2022·高二课时练习）已知 (1)求; (2)设的夹角为，求的值; (3)若向量与互相垂直，求的值. 8．（2021·高一课时练习）在四边形中，已知，，，. （1）判断四边形的形状； （2）若，求向量与夹角的余弦值. 必会题型二：向量与几何长度最值 1．（2022春·辽宁锦州·高一统考期末）已知，，，，点D在边上且，则长度为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高三专题练习）在中，，点满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中）如图所示，正六边形 的边长为2，若P为该正六边形边上的动点，则的取值范围为（    ） A．[2，6] B．[-2，6] C．[4，12] D．[-4，12] 4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在矩形ABCD中，，E为边AB上的任意一点（包含端点），O为AC的中点，则的取值范围是（    ） A． B． C．