专题11 旋转中的几何模型归类（3大类型）-2022-2023学年八年级数学下册《高分突破•培优新方法》（北师大版）

专题11 旋转中的几何模型归类（3大类型）模型解读 类型一：“手拉手”模型 模型特征：两个等边三角形或等腰直角三角形或正方形共顶点。 模型说明：如图1，▲ABE，▲ACF都是等边三角形，可证▲AEC≌▲ABF。 如图2，▲ABD，▲ACE都是等腰直角三角形，可证▲ADC≌▲ABE 如图2，四边形ABEF，四边形ACHD都是正方形，可证▲ABD≌▲AFC 类型二： “半角”模型 模型特征：大角含半角+有相等的边，通过旋转“使相等的边重合，拼 出特殊角” 模型说明： （1）如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，将▲ADF绕点A顺时针旋转90°，得到▲ABG可证▲AEF≌AEG，所以可到DF+BE=EF （2）如图，在等腰直角▲ABC中，∠MAN=45°，将▲ACN绕点A顺时针旋转90°，得到▲ABQ，可证▲AMN≌▲AMQ，所以可得CN²+BM²=MN² （3）如图，等腰▲ABC中，AB=BC，∠DBE=将▲CBD绕点B逆时针旋转∠CBA的度数得到▲ABD’可证▲DBE≌▲D’BE。 类型三： 构造旋转模型解题 方法指导：若一个图形中含有相等的线段和特殊的角度，通常是以等线段的公共端点为旋转中心进行旋转，使得相等的边重合，得出特殊的图形. 常见图形旋转： （1）“等边三角形”的旋转 方法归纳：将等边三角形内的一个小三角形，旋转60度，从而使小三角形的一边与原等边三角形的边重合，连接小三角形的钝角顶点，得三角形．通过旋转将不相关的线段转化到同一个三角形中，将分散的已知条件集中起来，使问题得以解决． 典例分析 【考点1 “手拉手”模型】 【典例1】（2021春•西安期末）如图，在△ABC中，BC＝5，以AC为边向外作等边△ACD，以AB为边向外作等边△ABE，连接CE、BD． （1）若AC＝4，∠ACB＝30°，求CE的长； （2）若∠ABC＝60°，AB＝3，求BD的长． 【变式1-1】（2021秋•荔湾区校级期中）以△ABC的AB，AC为边分别作正方形ADEB，正方形ACGF，连接DC，BF． （1）CD与BF有什么数量与位置关系？说明理由． （2）利用旋转的观点，在此题中，△ADC可看成由哪个三角形绕哪点旋转多少角度得到的． 【变式1-2】（2021九上·吉林期末）如图①，在中，，，点D，E分别在边，上，且，此时，成立． （1）将绕点C逆时针旋转时，在图②中补充图形，并直接写出的长度； （2）当绕点C逆时针旋转一周的过程中，与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由； （3）将绕点C逆时针旋转一周的过程中，当A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出的长度． 【考点2 “半角”模型】 【典例2】（2017秋•锦江区期末）在△ABC中，AB＝AC，点E，F是边BC所在直线上与点B，C不重合的两点． （1）如图1，当∠BAC＝90°，∠EAF＝45°时，直接写出线段BE，CF，EF的数量关系；（不必证明） （2）如图2，当∠BAC＝60°，∠EAF＝30°时，已知BE＝3，CF＝5，求线段EF的长度； （3）如图3，当∠BAC＝90°，∠EAF＝135°时，请探究线段CE，BF，EF的数量关系，并证明． 【变式2-1】（2021春•金牛区校级期中）类比探究： （1）如图1，等边△ABC内有一点P，若AP＝8，BP＝15，CP＝17，求∠APB的大小；（提示：将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处） （2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点，且∠EAF＝45°．求证：EF2＝BE2+FC2； （3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点O为△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，若AC＝1，求OA+OB+OC的值． 【变式2-2】（2022春•西山区校级月考）如图，已知正方形ABCD，点E、F分别是AB、BC边上，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM． （1）求证：△EDF≌△MDF； （2）若正方形ABCD的边长为5，AE＝2时，求EF的长？ 【变式2-3】（2022春•路北区期末）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG． （1）求证：GE＝FE； （2）若DF＝3，求BE的长为 　 　． 【变式2-4】（2021秋•山西期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形ABCD中，