6.2.4平面向量的数量积课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.4 平面向量的数量积 第六章 平面向量及其应用 1 1.了解平面向量数量积的物理背景. 2.掌握平面向量数量积的定义、性质、运算律,理解其几何意义. 3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直. 教学目标 引 入 问题1在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功 ， 功是一个_____，它由力和位移两个向量以及它们的夹角来确定. 标量 思考：力和位移是什么量？ 其中θ是F与s的夹角． 功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？ LOGO 3 探究新知 问题3 如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，W比作力与位移的乘积，其结果又该如何表述？ 两个向量的模及其夹角余弦的乘积 思考：如何定义向量的夹角？ LOGO 4 B 一、平面向量的夹角 两个非零向量 ， . 是平面上的任意一点，作 ， ， 则 叫做向量 与 的夹角. 0 A θ∈[0，π] 范围： 向量夹角的范围： 说出下列两个向量 和 的夹角的大小是多少？ (1) (3) ┐ (5) 两个非零向量的夹角应该注意两个向量共起点. 巩固新知 40O (2) ╮ 40O 60O (4) 60O 60O (6) 60O 注: （1）其中 （2）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定 2.平面向量的数量积： （3） 不能写成 ，“· ”也不能省略。 （4） 与任一向量的数量积为0 巩固新知 例1 例2 知三求一 探究点一 平面向量数量积概念的应用 课堂探究·素养培育 思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？ 1、当夹角θ范围是_________时 a·b>0 2、当夹角θ范围是_________时 3、当夹角θ范围是_________时 a·b<0 a·b=0 思考： 5.数量积的性质： 例11. 计算 （1）(a+b)2； (2) (a+b)·(a-b) LOGO 12 例12 答案:45° 课堂小结 1.知识点： (1)向量的夹角. (2)向量数量积的定义. (3)向量数量积的性质. 2.方法归纳：数形结合. 3.易错点：向量夹角共起点； a·b>0⇏两向量夹角为锐角，a·b<0⇏两向量夹角为钝角. LOGO 15 投影向量： 投影向量= 投影 x 单位向量 课本P19 投影:OM1= =|a|cos 课本P20练习 　　3、已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e. (1)求a·b； (2)求a在b上的投影向量. (3)求a在b上的投影向量 [例1] 如图,在▱ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°,求: (1)·; (2)·. 解:(1)因为∥,且方向相同, 所以与的夹角是0°, 所以·=||||cos 0°=3×3×1=9. 解:(2)因为与的夹角为60°, 所以与的夹角为120°, 所以·=||||·cos 120° =4×3×(-)=-6. 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝_____________________. (2)a⊥b⇔_______________. (3)当a与b同向时，a·b＝__________________； 当a与b反向时，a·b＝_____________________. (5)|a·b| ___|a||b|. 3.若|a|=1,|b|=,且a-b与a垂直,则a与b的夹角等于　　　　.  解析:设a与b的夹角为θ, 因为a-b与a垂直, 所以(a-b)·a=0,即a2-b·a=0, 所以a·b=a2=|a|2=1, 所以cos θ===. 因为0°≤θ≤180°,所以θ=45°. 所以a与b的夹角为45°. 2.如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θe. $