18.2.1矩形的性质与判定十大题型（讲+练）-【重要笔记】2022-2023学年八年级数学下册重要考点精讲精练（人教版）

18.2.1矩形的性质与判定 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 注意：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 矩形的性质 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 注意： （1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 题型1：理解矩形的性质 1.（2022八下·梧州期末）下列语句中，不是属于矩形性质的是（　　） A．两条对角线互相平分 B．两条对角线相等 C．四个内角都是直角 D．两条对角线互相垂直 【变式1-1】矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（0，2），C（0，3），则点D坐标为　 　． 【变式1-2】∠A和∠C是矩形ABCD的一组对角，则：①∠A与∠C相等；②∠A与∠C互补；③∠A是直角；④∠C是直角，以上结论中，正确的有　 　． 题型2：利用矩形的性质判定三角形全等 2.（2022九上·历城月考）如图，矩形ABCD中，点M在DC上，AM=AB，且BN⊥AM，垂足为N，证明：△ABN≌△MAD； 【变式2-1】已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF．求AE的长． 【变式2-2】（2022九上·宝鸡月考）如图，点E为矩形ABCD内一点，且．求证：． 题型3：矩形的性质与求角度 3.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DGF等于（　　） A．70° B．60° C．80° D．45° 【变式3-1】用两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，一把直尺压住射线OB交射线OA于点M，另一把直尺压住射线OA交第一把直尺于点P，作射线OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（　　） A．46° B．52° C．56° D．62° 【变式3-2】如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠E＝70°，则∠BAC的度数是（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 【变式3-3】（2021八下·叙州期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.若∠AOB＝50°，则∠OAD的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．15° 【变式3-4】（2022九上·惠阳月考）如图，在矩形 中，，相交于点，平分交于，若 ，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型4：矩形的性质与求线段 4.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（　　） A．4 B．4 C．3 D．5 【变式4-1】（2023九上·成华期末）如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E是边的中点，点F在对角线上，且，连接.若，则的长为（　　） A． B．3 C．4 D．5 【变式4-2】（2022九上·平遥期末）如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（　　） A． B．8 C． D． 题型5：矩形性质综合 5.如图，点P是矩形ABCD的对角线上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD，若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式5-1】（提升题）（2022·绥化模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，P，Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，当四边形APQE的周长最小时，BP的长为（　　） A．0 B．3 C．4 D．6 【变式5-2】如图，已知矩形ABCD，延长CB至点E，使得BE＝BC，对角线AC，BD交于点F，连结EF． （1）求证：四边形AEBD是平行四边形； （2）若BC＝4，CD＝8，求EF的长． 【变式5-3】（2022·梧州模拟）如图，在矩形ABCD中，EF是对角线AC的垂直平分线，分别交AB，CD于点E，F，若，则EF的长为（　　） A．4 B．8 C． D． 直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 注意： （1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用. （