专题12 等边三角形中的378和578模型（3大类型）-2022-2023学年八年级数学下册《高分突破•培优新方法》（人教版）

专题12 等边三角形中的378和578模型（3大类型） 【典例分析】 【典例1】在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，则△ABC的面积为（　　） A．24 B．56 C．48 D．112 【变式1】已知直角三角形的两直角边分别为6和8，则该直角三角形斜边上的高为（　　） A． B．10 C．5 D． 【典例2】已知在△ABC中，AB＝5，BC＝8，AC＝7，则∠B的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．70° 【变式2-1】已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（　　） A．45° B．37° C．60° D．90° 【变式2-2】边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（　　） A．90° B．150° C．135° D．120° 【典例3】在△ABC中，AB＝24，AC＝21，BC＝15，则△ABC的面积是 　 　． 【变式3】当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，则这两个三角形的面积之和是 　 ． 【夯实基础】 1． 若一个等腰三角形的周长为16cm，一边长为6cm，则该等腰三角形的面积 为 　　 cm2． 2．已知：在△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，则AB为 　 　． 3．如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，过点D作DF⊥BE，垂足为F． （1）求BD的长； （2）求证：BF＝EF． 4．如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7．求BC边上的高． 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15． 求：（1）CD的长； （2）AD的长． 6．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求： （1）边AC、AB、BC的长； （2）求△ABC的面积； （3）点C到AB边的距离． 7．如图，在△ABC中，AC＝5，D为BC边上一点，且CD＝1，AD＝，BD＝4，点E是AB边上的动点，连接DE． （1）求AB的长； （2）当△BDE是直角三角形时，求AE的长． 8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AC＝5，BC＝9，AD＝4，求AB的长． 9．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠BCA＝60°，AC＝2，DA＝1，CD＝3．求四边形ABCD的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 等边三角形中的378和578模型（3大类型） 【典例分析】 【典例1】在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，则△ABC的面积为（　　） A．24 B．56 C．48 D．112 【答案】A 【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于D， 在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6， ∴设BD＝x，则AD＝16﹣x， 在△DBC与△ADC中， ∵CD2＝BC2﹣BD2＝AC2﹣AD2， ∴62﹣x2＝142﹣（16﹣x）2， 解得：x＝3， ∴CD＝3， ∴＝24． 故选：A 【变式1】已知直角三角形的两直角边分别为6和8，则该直角三角形斜边上的高为（　　） A． B．10 C．5 D． 【答案】D 【解答】解：∵直角三角形的两直角边为6和8， ∴斜边长为：＝10， 设直角三角形斜边上的高是h， ∴×6×8＝×10×h， 解得：h＝． 故选：D 【典例2】已知在△ABC中，AB＝5，BC＝8，AC＝7，则∠B的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．70° 【答案】C 【解答】解：过A作AD⊥BC于D，设BD＝x，则CD＝8﹣x， 在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2， 在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2， ∵AB＝5，AC＝7， ∴25﹣x2＝49﹣（8﹣x）2， 解得：x＝， ∴BD＝2.5， ∵AB＝5， ∴AB＝2BD， ∴∠BAD＝30° ∴∠B的度数是60°． 故选：C． 【变式2-1】已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（　　） A．45° B．37° C．60° D．90° 【答案】C 【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示： 设CD＝x， 则BD＝BC﹣CD＝5﹣x， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2﹣CD2， ∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2， 即：72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2， 解得：x＝4， ∴CD＝4， ∴CD＝AC， ∴∠CAD＝30°， ∴∠C＝90°﹣30°＝60°， 故选：C． 【变式2-2】边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（　　） A．90° B．150° C．135° D